Triangulation de graphe

L'algorithme ci-dessus est extrêmement simpliste. Il consiste à parcourir tous les sommets, de relier deux à deux les voisins du sommet, puis de le "supprimer" du graphe. Ceci pour tous les sommets. Complexité en ${\displaystyle O(n)}$ sans compter le temps du choix du sommet. Cet algorithme ne trouve en rien une triangulation optimale (au sens du nombre d'arêtes ajoutées). Il permet juste de trouver une triangulation du graphe.

On peut constater que l'efficacité de l'algorithme dépend de la manière de prendre les sommets. On peut donc naturellement faire intervenir différentes heuristiques pour améliorer grandement le résultat.

Le score est calculé en fonction du nombre de voisins d'un sommet et du nombre de ses voisins reliés deux à deux. On essaye donc à chaque fois de prendre le sommet où le nombre d'arêtes à rajouter est le plus faible.

${\displaystyle {\text{score}}=\deg \times \deg -2\times {\text{NombreDeVoisinsRelies}}}$

Avec deg égal au degré du sommet et nombreVoisinRelie le nombre de voisins reliés deux à deux du sommet en question.

Bien que l'heuristique avec score se révèle efficace, il est souvent nécessaire de développer ses propres heuristiques en fonction du graphe. Par exemple en prenant en compte ses particularités symétriques.

L'algorithme le plus utilisé pour vérifier si un graphe est triangulé est un parcours en largeur lexicographique (dit Lex-BFS). Cet algorithme commence par numéroter chacun des sommets selon l'ordre défini dans l'algorithme qui est linéaire, ${\displaystyle O(m+n)}$.

Entrée Un graphe orienté ${\displaystyle G=(V,\varepsilon )}$ 
Sortie La numérotation lambda des sommets de G
Pour   sommet ${\displaystyle x\ \in \ V}$
    étiquette(x)=0
FinPour
Pour i=n jusqu'à 1
    Choisir un sommet non numéroté ${\displaystyle x\in V}$ d'étiquette lexicographique maximum
    ${\displaystyle \lambda (i)\leftarrow x}$
    Pour voisin non numéroté y de x
      Ajouter i à étiquette(y)
    FinPour
FinPour

LexBfs sur un graphe

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