Valeur approchée

Exemples

• ${\displaystyle |10,32-10,3|=0,02\leqslant 0,1}$ donc ${\displaystyle 10,3}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle 10,32}$ à la précision ${\displaystyle 0,1}$.
• Les réels ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle a}$ jouant des rôles symétriques dans la définition, on peut également conclure que ${\displaystyle 10,32}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle 10,3}$ à la précision ${\displaystyle 0,1}$.
• ${\displaystyle |10,99-11,01|=0,02\leqslant 0,05}$ donc ${\displaystyle 10,99}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle 11,01}$ à la précision ${\displaystyle 0,05}$.
• ${\displaystyle |457-10,3|=446,7<500}$ donc ${\displaystyle 457}$ est une valeur approchée de ${\displaystyle 10,3}$ à la précision ${\displaystyle 500}$.

Exemples

Un arrondi est une valeur approchée, mais la réciproque n'est pas vraie.

En effet, il est communément accepté de ne considérer comme valeur arrondie de ${\displaystyle x}$ un nombre ${\displaystyle a}$ partageant les chiffres du développement décimal de ${\displaystyle x}$ jusqu'à un certain point.

Plus précisément, notons ${\displaystyle x=\sum \limits _{n=-\infty }^{+\infty }x_{n}10^{n}}$ est le développement décimal de ${\displaystyle x}$ (autrement dit, ${\displaystyle \exists N\in \mathbb {N}$ :\forall n\geqslant N,x_{n}=0} , c'est-à-dire que ${\displaystyle x}$ n'a pas une infinité de chiffres "avant la virgule" , et ${\displaystyle \forall N\in \mathbb {Z} ^{-},\exists n\leqslant N:x_{n}\neq 9}$, c'est-à-dire que l'on exclut les écritures se terminant par une infinité de ${\displaystyle 9}$ -- voir l'article Développement décimal --).

Une valeur arrondie à ${\displaystyle 10^{k}}$ de ${\displaystyle x}$ est soit le nombre ${\displaystyle a=\sum \limits _{n=k+1}^{+\infty }x_{n}10^{n}+x_{k}10^{k}}$ (troncature, qui est la valeur arrondie par défaut dans le cas positif, et par excès dans le cas négatif), soit le nombre ${\displaystyle a=\sum \limits _{n=k+1}^{+\infty }x_{n}10^{n}+(x_{k}+1)10^{k}}$ (valeur arrondie par excès dans le cas positif, ou par défaut dans le cas négatif).

Ainsi, seules deux valeurs sont admises comme valeurs arrondies d'un nombre donnée à un niveau de précision ${\displaystyle 10^{k}}$ donné. Or comme vu plus haut, la définition d'une valeur approchée d'une part autorise n'importe quel niveau de précision, pas nécessairement une puissance de ${\displaystyle 10}$, et accepte une infinité de valeurs -- y compris les deux valeurs arrondies--.

Intérêts de la notion de valeur approchée

Du fait de l'ambiguïté inhérente à sa définition, la notion de valeur approchée est difficilement utilisable dans le but de simplifier le résultat d'un calcul. Il est donc préférable de citer une valeur arrondie qui permet de retracer avec plus de fiabilité (tous les chiffres considérés comme "significatifs" étant identiques, à l'exception éventuelle du chiffre de moindre poids), contrairement à une valeur approchée comme vu dans les exemples plus haut.

La notion de valeur approchée peut également être utilisée pour déterminer des ordres de grandeur. Par exemple, si l'on cherche à évaluer mentalement le produit ${\displaystyle 22\,456\times 3\,898}$ , on peut approcher les deux facteurs par des valeurs plus simples à multiplier: par exemple, ${\displaystyle 22\,456\times 3\,898\approx 25\,000\times 4\,000=100\,000\,000}$ . Notons que ce ne sont pas des valeurs arrondies au sens énoncé plus haut. En revanche, il est plus courant de dire que ${\displaystyle 100\,000\,000}$ est ordre de grandeur du produit ${\displaystyle 22\,456\times 3\,898}$ plutôt qu'une valeur approchée.

Dans un contexte de mesure physique par exemple, la notion de valeur approchée devient pertinente: en effet, il ne s'agit plus de simplifier le résultat d'un calcul, mais de quantifier l'écart entre la mesure empirique d'une grandeur et la valeur théoriquement attendue. L'incertitude de mesure est alors l'étude du niveau de précision de cette approximation.

Partant de ces exemples, on peut raisonnablement considérer, de manière plus générale, que la notion de valeur approchée gagne son sens lorsque l'on cherche à contrôler la "proximité" entre deux nombres, autrement dit, avec les notations de la définition, étant donnés deux réels ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle a}$, on cherche le niveau de précision ${\displaystyle p}$ qui permet de qualifier ${\displaystyle a}$ comme une valeur approchée de ${\displaystyle x}$. Une valeur approchée n'a donc pas vocation à simplifier un résultat, mais à simplifier son interprétation.