Variation d'une mesure

Définition (variation d'une mesure complexe) — Soit ${\displaystyle \mu }$ une mesure complexe sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. La variation de ${\displaystyle \mu }$ est l'application définie par

${\displaystyle \vert \mu \vert (A):=\sup \left\{\sum _{k=1}^{n}\vert \mu (A_{k})\vert$ :(A_{k})_{k=1}^{n}{\text{ est une partition finie de }}A{\text{ en ensembles }}{\mathcal {A}}{\text{-mesurables}}\right\}}

pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Il est équivalent, dans la définition de la variation d'une mesure complexe, de prendre le supremum sur l'ensemble des partitions dénombrables, au lieu de finies^[1].

Les deux définitions précédentes, pour les mesures signées et complexes, ne sont pas incompatibles. En effet, il s'avère qu'elles coïncident pour les mesures signées finies^[2].

• Si ${\displaystyle \nu }$ est une mesure réelle positive, alors ${\displaystyle \vert \nu \vert =\nu }$.
• La variation d'une mesure signée ou complexe est toujours une mesure réelle positive. De plus, la variation d'une mesure complexe est une mesure finie^[2].
• Si ${\displaystyle \mu }$ est une mesure complexe sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, alors ${\displaystyle \vert \mu \vert }$ est la plus petite mesure réelle positive ${\displaystyle \nu }$ satisfaisant ${\displaystyle \vert \mu (A)\vert \leq \nu (A),\,\forall A\in {\mathcal {A}}}$^[2].
• Soit ${\displaystyle \rho }$ une mesure signée ou complexe sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Alors ${\displaystyle \vert \rho \vert (A)=0}$ si et seulement si tout sous-ensemble ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mesurable ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle A}$ vérifie ${\displaystyle \rho (B)=0}$. Autrement dit, ${\displaystyle A}$ est nul pour ${\displaystyle \vert \rho \vert }$ si et seulement si ${\displaystyle A}$ est totalement nul pour ${\displaystyle \rho }$^[2].
• Si ${\displaystyle \rho }$ est une mesure signée ou complexe et ${\displaystyle \lambda }$ est un scalaire, alors ${\displaystyle \vert \lambda \rho \vert =\vert \lambda \vert \vert \rho \vert }$.
• Si ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ sont deux mesures complexes sur le même espace mesuré, alors ${\displaystyle \vert \mu _{1}+\mu _{2}\vert \leq \vert \mu _{1}\vert +\vert \mu _{2}\vert }$. L'égalité n'est pas forcément atteinte, en effet, ${\displaystyle \mu _{1}=-\mu _{2}\neq 0}$ est un contre exemple^[3].
• Soit ${\displaystyle \nu }$ une mesure réelle positive sur ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle g}$ une fonction ${\displaystyle \nu }$-intégrable à valeurs réelles ou complexes. Si on pose

${\displaystyle \rho (A)=\int _{A}g(x)d\nu ~~~\forall A\in {\mathcal {A}}}$

alors^[1]

${\displaystyle \vert \rho \vert (A)=\int _{A}\vert g\vert (x)d\nu ~~~\forall A\in {\mathcal {A}}}$.