Variété de Prym
From Wikipedia, the free encyclopedia
Cet article ne cite pas suffisamment ses sources ().
Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».
En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Une variété de Prym est une construction en géométrie algébrique nommée d'après Friedrich Prym.
En mathématiques, la construction de variété de Prym (nommée d'après Friedrich Prym) est une méthode en géométrie algébrique permettant de construire une variété abélienne à partir d'un morphisme de courbes algébriques. Dans sa forme originale, elle s'appliquait à un revêtement double non ramifié d'une surface de Riemann, et fut utilisée par F. Schottky et H. W. E. Jung en relation avec le problème de Schottky. Ce problème s'intéresse à caractériser les variétés jacobiennes parmi les variétés abéliennes. Cette construction est apparaît d'abord dans les derniers travaux de Riemann, et fut étudiée de manière approfondie par Wirtinger en 1895.
Construction
Soit un morphisme non constant : φ: C₁ → C₂ de courbes algébriques. Notons Jᵢ la variété jacobienne de Cᵢ. À partir de φ, on construit le morphisme correspondant : ψ: J₁ → J₂, qui peut être défini sur une classe de diviseurs D de degré zéro en appliquant φ à chaque point du diviseur. Il s'agit d'un morphisme bien défini, souvent appelé l'homomorphisme de norme.
La variété de Prym de φ est alors le noyau de ψ. Plus précisément, pour obtenir une variété abélienne, on considère la composante connexe de l'identité du schéma réduit sous-jacent au noyau. En d'autres termes, on prend la plus grande sous-variété abélienne de J₁ sur laquelle ψ est trivial.
