Veigel est le fils d'un commerçant. Après son abitur, il fait un apprentissage dans le commerce dans une agence de voyages. Lorsque Radio Hilversum cherche un présentateur, il obtient le poste, notamment en raison de sa bonne connaissance du néerlandais. En 1954, il vient à la NWDR, où il présente les informations. En 1961, il devient aussi présentateur et animateur pour la télévision.
En , il quitte la présentation à cause de son état de santé. Dagmar Berghoff lui succède. Le mois suivant, il expose à Stern son homosexualité et qu'il vit avec son compagnon depuis 1955. Il meurt quelques mois après d'une tumeur du cerveau. Il se fait enterrer au cimetière d'Ohlsdorf.
