Fonction logique coïncidence

La fonction logique coïncidence ou NON-OU exclusif est aussi appelée fonction équivalence ou ET exclusif, dans l'algèbre de Boole. Elle peut être représentée par les deux signes NON et le OU exclusif, c'est-à-dire : « ¬ »« ⊻ » ou par un point (signe de multiplication) dans un cercle : « ${\displaystyle \odot }$ »^{[1],[Note 1]}.

C'est un opérateur booléen, à deux opérandes. Cette fonction retourne la valeur VRAI si, et seulement si, les deux opérandes ont la valeur VRAI ou la valeur FAUX. Il associe un résultat qui a lui-même la valeur VRAI seulement si les deux opérandes ont des valeurs identiques. Sinon, elle retourne la valeur FAUX^[1]. Les valeurs VRAI et FAUX peuvent être représenté par les valeurs binaires 1 et 0 (en anglais BIT pour Binary digit).

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Table de vérité de la fonction NON-OU exclusif

Opérande 1	Opérande 2	Résultat		Opérande 1	Opérande 2	Résultat
a	b	¬(a ⊻ b)		a	b	${\displaystyle a\odot b}$
FAUX	FAUX	VRAI		0	0	1
FAUX	VRAI	FAUX		0	1	0
VRAI	FAUX	FAUX		1	0	0
VRAI	VRAI	VRAI		1	1	1

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La fonction logique NON-OU exclusif correspond aux équations suivantes^[2] :

${\displaystyle S=a\odot b={\overline {a\oplus b}}=a.b+{\overline {a}}.{\overline {b}}}$

En informatique, cet opérateur peut s'utiliser pour combiner deux bits, valant chacun 0 ou 1, en appliquant les règles définies par la table précédente, le résultat étant lui-même la valeur d'un bit^[1].

• ${\displaystyle a\odot a=1}$^[1]
• ${\displaystyle a\odot 0={\bar {a}}}$
• ${\displaystyle a\odot 1=a}$
• ${\displaystyle a\odot {\bar {a}}=0}$
• Commutativité ${\displaystyle a\odot b=b\odot a}$
• Associativité ${\displaystyle a\odot (b\odot c)=(a\odot b)\odot c=a\odot b\odot c}$ mais ${\displaystyle \bigodot (a,b,c)\neq a\odot b\odot c}$
• ${\displaystyle a\odot b={\overline {a\oplus b}}}$ et ${\displaystyle a\odot b\odot c=a\oplus b\oplus c}$ où ${\displaystyle \oplus }$ est le OU exclusif.
• ${\displaystyle a\odot b=ab+{\overline {a}}\cdot {\overline {b}}}$
• ${\displaystyle a\odot b=0}$ si et seulement si ${\displaystyle a\neq b}$

L'illustration suivante explique la fonction logique NON-OU exclusif^[1].

Les deux opérandes booléens, « a » et « b » et la fonction NON-OU exclusif, sont simulés par des doubles interrupteurs de type NO (normalement ouvert)/NF (normalement fermé). Le résultat de la fonction est simulé par une lampe.

Une lampe s'allume (résultat VRAI) si l'on appuie (ferme le circuit) sur « a » et « b » (valeurs VRAI) simultanément OU sur aucun des deux (valeurs FAUT), mais pas quand on appuie que sur un seul interrupteur.

La fonction XNOR est utilisé dans les ordinateurs dans le décodage d'adresse^[3].

Applications en informatique

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