Équation de conservation

On peut définir une loi de conservation pour une variable conservative (extensive) ${\displaystyle \Phi }$ (de densité ${\displaystyle \phi }$) entraînée à la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ en utilisant le théorème de transport de Reynolds sur un domaine de contrôle ${\displaystyle \textstyle V}$ d'enveloppe ${\displaystyle \textstyle \partial V}$ sur laquelle on définit la normale sortante ${\displaystyle \textstyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\phi \ \mathrm {d} V+\int _{\partial V}\phi \,{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {\mathrm {\mathrm {d} } } A=\int _{V}S\ \mathrm {d} V}$

Cette équation de bilan dit que la variation dans le volume de référence (premier terme dans l'équation) est égal à ce qui sort ou ce qui rentre (deuxième terme) plus ce qui est créé ou disparaît dans le volume au travers du terme ${\displaystyle \textstyle S}$ pris positif dans le cas de la production.

En appliquant le théorème de flux-divergence, le terme surfacique est transformé en un terme volumique :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\phi \ \mathrm {d} V+\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})\ \mathrm {d} V=\int _{V}S\ \mathrm {d} V}$

et par application de la règle de Leibniz

${\displaystyle \int _{V}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\ \mathrm {d} V+\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})\ \mathrm {d} V=\int _{V}S\ \mathrm {d} V\qquad \Rightarrow \qquad \int _{V}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})-S\ \right]\mathrm {d} V=0}$

Cette expression est valide quel que soit le volume de référence. Elle implique donc que l'intégrande soit nul :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\phi \,{\vec {v}})=S}$

Cette dernière expression constitue l'équation de conservation de ${\displaystyle \textstyle \Phi }$.

On peut être amené a écrire l'équation de conservation dans un repère noté ${\displaystyle \textstyle \xi }$ entraîné à la vitesse ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}}$, donc défini par

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial t}}={\vec {v}}({\vec {x}})}$

L'accélération de ce système est donné par la dérivée particulaire

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}\,=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{\xi }=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{x}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }})\phi }$

En tenant compte de l'expression de la conservation en coordonnées fixes (dites eulériennes) et en utilisant l'identité ${\displaystyle \textstyle {\vec {\nabla }}\cdot (\phi {\vec {v}})={\vec {v}}\cdot \nabla \phi +({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}})\phi }$ il vient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi =S}$

On peut être amené à transporter la maille à une vitesse ${\displaystyle \textstyle {\vec {u}}({\vec {x}})={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial t}}}$ : c'est la méthode Arbitrary Lagrange-Euler (ALE) utilisée pour conserver la qualité du calcul qui peut être mis à mal par la méthode lagrangienne (déformation du maillage créé par un tourbillon, absence de suivi d'une interface dans un calcul diphasique...). ${\displaystyle \textstyle {\vec {u}}}$ est une quantité qui fait l'objet d'un calcul annexe approprié au problème traité. On définit ainsi un repère noté ${\displaystyle \textstyle \xi ^{*}}$ entraîné à la vitesse ${\displaystyle \textstyle {\vec {u}}}$.

L'équation de bilan dans le système ${\displaystyle \textstyle \xi ^{*}}$ s'écrit alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\phi \ \mathrm {d} V+\int _{\partial V}\phi \,({\vec {v}}-{\vec {u}})\cdot {\vec {n}}\ \mathrm {\mathrm {\mathrm {d} } } A=\int _{V}S\ \mathrm {d} V}$

Soit, en utilisant la procédure utilisée pour l'établissement de la loi eulérienne :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot [\phi \,({\vec {v}}-{\vec {u}})]=S}$

Le passage en coordonnées lagrangiennes s'écrit ici :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}\,=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{\xi ^{*}}=\left.{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|_{x}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi }$

D'où l'équation de bilan :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}+\phi {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {u}})+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\phi =S}$

On vérifie que pour ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {0}}}$ et ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}}$ on retrouve les expressions eulérienne et lagrangienne, respectivement.

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