Averaged t-matrix Approximation

置換型の不規則二元合金を考え、これによる2種類のポテンシャルをそれぞれ A、B で区別する。それぞれの成分比は、A : B = x : 1 - x(= y) とする（三元以上の系への拡張も可能）。ポテンシャルAのサイトに対応するt行列をτ_A、ポテンシャルBに対応するt行列をτ_Bとして、ATAでは、

${\displaystyle \tau _{l}^{AT}=x\tau _{l}^{A}+y\tau _{l}^{B}=\left\langle \tau _{l}\right\rangle }$

とする（lは軌道角運動量とし、これ以降は省略）。${\displaystyle \,\langle \rangle }$は濃度平均を意味している。つまり、合金の成分濃度による平均を行ったt行列（τ^AT）を用いるのが“平均されたt行列による近似”(=ATA)である。

以上から、単サイト近似での${\displaystyle T_{\mathbf {q} }^{eff}}$は、

${\displaystyle T_{\mathbf {q} }^{eff}\to T_{\mathbf {q} }^{AT}=\left[{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}-B_{\mathbf {q} }\right]^{-1}}$

となり、<T₀₀>は、

${\displaystyle {\left\langle T_{00}\right\rangle }_{0=A(B)}=\tau _{A(B)}{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}\left\langle T_{00}\right\rangle ={\tau _{A(B)} \over {N{\left\langle \tau \right\rangle }}}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}}$

となる。これは、多重散乱理論の記事内でT_nの式が、

${\displaystyle T_{n}=t_{n}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{n\neq m}T_{m}\right]}$

と表されるので、

${\displaystyle {\left\langle T_{0}\right\rangle }_{0=A}=t_{0}^{A}\left[1+{\tilde {G}}\sum _{n\neq 0}\left\langle T_{n}\right\rangle \right]=t_{0}^{A}{\left\langle t_{0}\right\rangle }^{-1}\cdot {\left\langle t_{0}\right\rangle }\left[1+{\tilde {G}}\sum _{n\neq 0}\left\langle T_{n}\right\rangle \right]=t_{0}{\left\langle t_{0}\right\rangle }^{-1}{\left\langle T_{0}\right\rangle }}$

から導かれる。この、${\displaystyle {\left\langle T_{00}\right\rangle }_{0=A(B)}}$を、単サイト近似での状態密度の表式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{matrix}&D(E)-D_{0}(E)&\\\ &=&-{2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} \left[x{\tau _{A} \over {N{\left\langle \tau \right\rangle }}}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y{\tau _{B} \over {N{\left\langle \tau \right\rangle }}}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}-{1 \over N}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]\\\ &=&-{2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} \left[{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}\left\{x\tau _{A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\tau _{B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}\right\}\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}-\sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]\\\ &=&{2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} \sum _{\mathbf {q} }T_{\mathbf {q} }^{AT}\left[{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}\left\{x\tau _{A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\tau _{B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}\right\}+{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]\end{matrix}}}$

となる。これがATAにおける電子の状態密度の表式である。Imは複素数の虚数部分を取ること、Trはトレース（跡）を取ることである。

更に、ここでスペクトル密度a(q,E)を以下のように定義する（D₀(E)からの寄与は省略）。

${\displaystyle D(E)=\sum _{\mathbf {q} }a(\mathbf {q} ,E)}$

従って、スペクトル密度の表式は、

${\displaystyle a(\mathbf {q} ,E)={2 \over {\pi }}\mathrm {ImTr} T_{\mathbf {q} }^{AT}\left[{\left\langle \tau \right\rangle }^{-1}\left\{x\tau _{A}{d\tau _{A}^{-1} \over {dE}}+y\tau _{B}{d\tau _{B}^{-1} \over {dE}}\right\}+{dB_{\mathbf {q} } \over {dE}}\right]}$

となる。ここで、qをk点に対応させると、スペクトル密度からバンド構造（E-k曲線）が得られる。

• 散乱理論
• 仮想結晶近似
• バンド計算