Hom関手

Hom関手を表す記号には以下のようなものがある。なお、${\displaystyle C}$ は圏、${\displaystyle a,b}$ は対象である。

• ${\displaystyle {\text{Hom}}_{C}(\_,\_)}$
• ${\displaystyle {\text{Hom}}(\_,\_)}$
• ${\displaystyle \square ^{\square }}$
• ${\displaystyle \square ^{a}}$：共変Hom関手
• ${\displaystyle b^{\square }}$：反変Hom関手

アンダースコア ${\displaystyle \_}$ や四角 ${\displaystyle \square }$ は「空欄」を表し、ここに ${\displaystyle C}$ の対象が入ると解釈できる。

${\displaystyle C}$ を局所小圏^[1]とする。${\displaystyle C}$ の任意の対象 ${\displaystyle A}$ と ${\displaystyle B}$ に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。

共変関手 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,\_)}$：

• 対象への作用： ${\displaystyle C}$ の各対象 ${\displaystyle X}$ を集合 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,X)}$ へ写す写像。
• 射への作用： ${\displaystyle C}$ の各射 ${\displaystyle f:X\to Y}$ を、${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ で定義される写像 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,f):{\text{Hom}}(A,X)\to {\text{Hom}}(A,Y)}$ へ写す写像。

反変関手 ${\displaystyle {\text{Hom}}(\_,B)}$：

• 対象への作用： ${\displaystyle C}$ の各対象 ${\displaystyle X}$ を集合 ${\displaystyle {\text{Hom}}(X,B)}$ へ写す写像。
• 射への作用： ${\displaystyle C}$ の各射 ${\displaystyle h:X\to Y}$ を、${\displaystyle g\mapsto g\circ h}$ で定義される写像 ${\displaystyle {\text{Hom}}(h,B):{\text{Hom}}(Y,B)\to {\text{Hom}}(X,B)}$ へ写す写像。

Hom関手間の自然変換と双関手

関手の組 ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,\_)}$ と ${\displaystyle {\text{Hom}}(\_,B)}$ は自然な方法で関係付けられる。

任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は g : A → B を f∘g∘h : A' →B' に写す。

上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手（英語版）であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }$$である。C^op は C の双対圏である。

上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)}$$を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')}$$を与える。米田の補題は、Hom関手の間の任意の自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 Set^Cop への埋め込みとなる充満忠実関手を与える。

圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

${\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}$

と書かれたり、$${\displaystyle {\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}$$と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

${\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}$

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏（英語版）と呼ばれる。

閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。$${\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}$$閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}$

である。ここで ${\displaystyle \otimes }$ はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ を内部Homと呼ぶ。${\displaystyle \otimes }$ がデカルト積 ${\displaystyle \times }$ であるとき、対象 ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ を指数対象と呼び、${\displaystyle Z^{Y}}$ と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語（英語版）と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム（英語版）がある。

• 次の形の関手は前層である：$${\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$$同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。

• 関手 F : C → Set がある Hom(A, _) と自然に同型であるとき、F は表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

• 関手 Hom(_, _) : C^op × C → Set は定義からプロファンクタ（英語: Profunctor）であり、特に恒等プロファンクタ ${\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}$ である。

• 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : C^op → C は C^op の極限（すなわち C の余極限）を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

• A をアーベル圏、A を A の対象とすると、Hom_A (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である^[2]。

• R を環、M を左 R-加群とする。関手 Hom_R (M, _) : Mod-R → Ab は、テンソル積関手 _ ⊗_R M : Ab → Mod-R の右随伴関手である。

• Ext関手
• 関手圏
• 表現可能関手