Y-Δ変換

変換は図に示す3端子の回路で行なわれる。それぞれの回路の端子は同一の端子である必要がある。この変換式は、実数(抵抗素子)の場合だけでなく、複素数(容量素子、誘導素子)の場合でも成立する。

一般に、Y接続回路のある端子に接続されるインピーダンスRyは、Δ接続回路で隣接するノードへのインピーダンス${\displaystyle R'}$と${\displaystyle R''}$から次のように表される。

${\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}$

ただし、${\displaystyle \sum R_{\Delta }}$はΔ接続回路の全てのインピーダンスの和である。これから次式が得られる。

${\displaystyle R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}$

${\displaystyle R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}$

${\displaystyle R_{c}={\frac {R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}$

• 上記公式の導出は、以下のように行う。

1. 並列接続した抵抗値を求める公式から以下の3式を導く

${\displaystyle R_{a}+R_{b}={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+(R_{bc}+R_{ac})}}}$

${\displaystyle R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+(R_{ac}+R_{ab})}}}$

${\displaystyle R_{c}+R_{a}={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca}+(R_{ab}+R_{bc})}}}$

2. 上記3式の両辺を足して、以下の式を導く

${\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}$

3. 元の3式との差を取ることで、インピーダンスを計算する式が導きだせる

例）

${\displaystyle R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}}$

との差を取ると、

${\displaystyle R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}$

一般に、Δ接続回路のある端子間に接続されるインピーダンス${\displaystyle R_{\Delta }}$は、以下の式で表される。

${\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}$

ただし、${\displaystyle R_{P}=R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}$であり、Y接続回路中のインピーダンスの2つの積の和である。${\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }}$は、${\displaystyle R_{\Delta }}$に対抗する辺のインピーダンスである。これから次式が得られる。

${\displaystyle R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}}$

${\displaystyle R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}}$

${\displaystyle R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}}$

グラフ理論ではY-Δ変換は、グラフ中のYのサブグラフを同等のΔのサブグラフに置き換えることである。この変換はグラフのエッジの数を増加させることは無いが、グラフのノードの数を増加させる。2つのグラフは、Y-Δ変換と逆変換を行い、もとに戻るのであるなら、Y-Δ等価であるという。例えば、ピーターセングラフはY-Δ等価なクラスである。