アダマールの三円定理

${\displaystyle 0<r_{1}<r_{2}}$とする。円環領域${\displaystyle r_{1}\leq |z|\leq r_{2}}$上の正則関数fに対して、

${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|\ \ (r_{1}\leq r\leq r_{2})}$

で${\displaystyle M(r)}$を定義する。このとき、${\displaystyle \log M(r)}$は${\displaystyle \log r}$の下に凸な関数である。すなわち、

${\displaystyle \log M(r)\leq {\frac {\log r_{2}-\log r}{\log r_{2}-\log r_{1}}}\log M(r_{1})+{\frac {\log r-\log r_{1}}{\log r_{2}-\log r_{1}}}\log M(r_{2})\ \ (r_{1}\leq r\leq r_{2})}$

${\displaystyle (\Leftrightarrow \log {\frac {r_{2}}{r_{1}}}\log M(r)\leq \log {\frac {r_{2}}{r}}\log M(r_{1})+\log {\frac {r}{r_{1}}}\log M(r_{2}))}$

が成立する。

• ジャック・アダマール