アフィン部分空間

ベクトル空間 V の部分集合 A がアフィン部分空間であるとは、それが V のベクトル v と V の線型部分空間 U_A が存在して $${\displaystyle A=v+U_{A}=\left\{v+u\mid u\in U_{A}\right\}}$$ が成り立つときに言う。このとき v を A の位置ベクトル、U_A を A に付随する線型部分空間と呼ぶ。A に対してU_A は一意に定まるが、v − w ∈ U_A を満たす w ∈ V はいずれも A の位置ベクトルである。A の次元は U_A の次元を言う。

一次元アフィン部分空間は直線、二次元アフィン部分空間は平面と呼ばれる。また V が n-次元のとき、次元が n − 1 のアフィン部分空間はアフィン超平面と呼ぶ。解析幾何学において空集合もアフィン部分空間の一種とする場合もあり、その場合アフィン部分空間としての次元は dim ∅ = −1 で付随する線型部分空間を持たない。

三次元ベクトル空間 R³ の部分空間 U を $${\displaystyle g\colon {\vec {x}}=\lambda (0,\,0,\,1)\quad (\lambda \in \mathbb {R} )}$$ で与えられる原点を通る直線（ドイツ語版）とする。ベクトル v→ ∈ V を具体的に $${\displaystyle {\vec {v}}=(1,\,0,\,0)}$$ ととれば、アフィン部分空間 A = v→ + U は原点から（x-軸方向に単位長さ）(1,0,0) だけずれた、方程式 $${\displaystyle h\colon {\vec {x}}=(1,\,0,\,0)+\mu (0,\,0,\,1)\quad (\mu \in \mathbb {R} )}$$ で与えられる直線である。

この原点を通らない直線はアフィン部分空間だが（零ベクトルを含まないから）線型部分空間ではない。

以下 V を体 K 上の有限次元ベクトル空間で、A, B はそのアフィン部分空間とする。

A と B が交わる場合、またはいずれか一方が空のとき、次元公式は $${\displaystyle \dim(A\vee B)+\dim(A\cap B)=\dim(A)+\dim(B)}$$ で与えられる。また、A と B がいずれも空でなく交わりも持たないとき、次元公式は $${\displaystyle \dim(A)+\dim(B)=\dim(A\lor B)+\dim(U_{A}\cap U_{B})-1}$$ となる。ここで U_A, U_B はそれぞれ A, B に付随する線型部分空間とする。またいずれの式においても A ∨ B は A と B のアフィン和空間である。