アペリーの定数

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1772年、レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx}$

また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}$

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また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}}\,dxdydz}$

や、リーマン関数の公式を用いた

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}$

または

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}$

等がある。