アーベルの総和公式

数列 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0,1,\cdots }}$ と実数 ${\displaystyle x\geq 0}$ に対し、 その総和を ${\displaystyle A(x)=\sum _{0\leq n\leq x}a_{n}}$ と定める。 また関数 ${\displaystyle f(t)}$ が ${\displaystyle 0<t<x}$ において微分可能とする。このとき

${\displaystyle \sum _{n=0}^{x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{0}^{x}A(t)f^{\prime }(t)dt}$

が成り立つ。

より一般に、${\displaystyle f(t)}$ が ${\displaystyle x<t<y}$ において微分可能なとき

${\displaystyle \sum _{n=x}^{y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(t)f^{\prime }(t)dt}$

が成り立つ。

この定理はアーベルの級数変形法の特殊な場合である。

また、リーマン＝スティルチェス積分の部分積分の公式でもあり、リーマン＝スティルチェス積分を使って

${\displaystyle \int _{x}^{y}fdA=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}Adf}$

とも表される。

証明については Apostol, 第3章および第4章 や Hardy-Wright, 第22章を参照。