アーンショーの定理

アーンショーの定理（アーンショーのていり、英: Earnshaw's theorem）は、任意の電荷のない領域において静電場が存在するとき、その領域に荷電粒子をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持できないというものである。1842年にイギリスの数学者サミュエル・アーンショー（英語版）によって証明された。

これは電位 φ（スカラー量）が、先の任意の領域で、ラプラス方程式

${\displaystyle \Delta \phi =0}$

を満たす調和関数であるとき、その領域内で電位 φ は極大、極小を持たないということ（ただし、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）を意味する。右辺が値を持つ場合はポアソン方程式と呼ばれ、この場合は領域内で φ の極大値が許される。

この定理は、永久磁石と常磁性/強磁性体だけからなる静磁場でも同様に、静的な安定浮上はできない。すなわち、アンペールの法則では磁場 ${\displaystyle {\vec {B}}}$ の周回積分が積分路を貫く電流 ${\displaystyle \mu _{0}{\vec {i}}}$ に等しくなるが、巨視的電流が存在しない系では磁場

${\displaystyle {\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}}$

はスカラーポテンシャルを持ち、ラプラス方程式を満足する。