オイラー積

リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 ζ(s) は s の実部が1より大きいとき、次のように定義される。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

ここで両辺に最小の素数2の－s乗 1/2^s をかけると

${\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots }$

となり、辺々引くと

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }$

この両辺に今度は2の次の素数3の－s乗 1/3^s をかけると

${\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+\cdots }$

となり、再び辺々引くと

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }$

以下同様に次々と素数の－s乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の 1/1^s 以外の項は（素因数分解の一意性によって）消えるので

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\cdots \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}=1}$

したがってゼータ関数は以下の形で表現される。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2^{s}}})}{(1-{\frac {1}{3^{s}}})}{(1-{\frac {1}{5^{s}}})}{(1-{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}}$

上記の式に形式的に s=1 を代入すると

${\displaystyle \zeta (1)={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2}})}{(1-{\frac {1}{3}})}{(1-{\frac {1}{5}})}{(1-{\frac {1}{7}})}\cdots }}}$

ここで左辺は調和級数であり、正の無限大に発散するので右辺も同様に発散すると考えられる。このことから素数の個数は有限ではないことが導かれる。なぜならもし素数が有限個なら右辺はある有限の値に収束するからである。