クロネッカーの補題

実数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ の無限和

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}$

が存在しかつ有限値をもつとする。このとき、 ${\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }$ でありかつ ${\displaystyle b_{n}\to \infty }$ となるような任意の広義単調増加数列 ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ に対し、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0}$

が成り立つ。

${\displaystyle S_{k}}$ を ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ の第 ${\displaystyle {\mathit {k}}}$ 項までの部分和とする。このとき、アーベルの補題より、

${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

となる。

${\displaystyle \epsilon >0}$ を任意の正の実数とする。このとき、 ${\displaystyle S_{k}}$ が s に収束することから、ある ${\displaystyle {\mathit {N}}\in \mathbb {N} }$ が存在し、 k > N のとき ${\displaystyle |{\mathit {S}}_{k}-s|\leq \epsilon }$ となる。ここで右辺は、

${\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}$

今、 ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ の極限をとる。このとき、第一項と第三項はともに ${\displaystyle s}$ に収束し、互いに打ち消しあう。第二項は総和部分が有限値となることから0に収束する。また、第四項は高々 ${\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}}$ となる。数列 ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ が広義単調増加であることから、 ${\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }$ であり、 ${\displaystyle \epsilon >0}$ は任意にとれるので、この式全体としての極限は0に収束することが示された。