コーシーの冪根判定法

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての ${\displaystyle n\geq N}$ に対し ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1}$ ならば、${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1}$ が成立する。比較判定法より、幾何級数 ${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }k^{i}}$ が収束すれば、${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }a_{n}}$ もまた収束する。

もし、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}$ ならば、${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }1}$ と比較して級数は発散する。a_n が非正である場合の絶対収束性は、${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ を用いれば同様にして証明できる。

• ダランベールの収束判定法
• 収束半径

• Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”. Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536 
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”. A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073 

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