σコンパクト空間
From Wikipedia, the free encyclopedia
性質と例
- すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である（すなわちすべての開被覆は可算部分被覆を持つ）[3]。逆は成り立たない。例えば、標準的なユークリッド空間 (Rn) はσコンパクトだがコンパクトでなく[4]、実数直線上の下極限位相はリンデレーフだが σ コンパクトでない[5]。実は、補可算位相はリンデレーフだがσコンパクトでも局所コンパクトでもない[6]。
- σコンパクトかつ局所コンパクトな空間はパラコンパクトである[7]。とくに、多様体がσコンパクトならばパラコンパクトである[8]。逆に、パラコンパクト多様体の連結成分の個数が高々可算個であればσコンパクトである[8]。
- G が位相群で G が1点で局所コンパクトであれば、G はすべての点で局所コンパクトである。したがって、直前の性質より、G がσコンパクトハウスドルフ位相群でベール空間でもあれば、G は局所コンパクトである。これはハウスドルフ位相群がベール空間でもあればσコンパクト性から局所コンパクト性が従うことを示している。
- 直前の性質より例えば Rω はσコンパクトでない。なぜならば、仮にσコンパクトとすると、Rω は位相群であってベール空間でもあるから、局所コンパクトでなければならない。
- σコンパクト空間 X が第二類(resp. ベール) であることと X が局所コンパクトであるような点の集合が X において空でない（resp. 稠密である）ことは同値である[10]。
関連項目
- Exhaustion by compact sets
- リンデレーフ空間
