ジグザグ補題

写像 ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$ は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。${\displaystyle c\in C_{n}}$ を、 ${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$ に属すある同値類の代表元とする。よって ${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$ 。行方向の完全性より ${\displaystyle \beta _{n}^{}}$ は全射なので、${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$ となる ${\displaystyle b\in B_{n}}$ が存在しなければならない。図式の可換性より、

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0}$

再び行方向の完全性より、

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}}$

${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$ は単射だから、${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$ を満たす ${\displaystyle a\in A_{n-1}}$ が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら ${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$ は単射で、かつ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ より

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0}$

が従うからである（つまり ${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$ ）。${\displaystyle a}$ は輪体なので、${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$ に属すある同値類の代表元になる。ここで、

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}$

と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。

• マイヤー・ヴィートリス完全系列

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC 
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0