ダイヤモンド原理

ダイヤモンド原理 ◊ は◊-列の存在を主張する。すなわち、各α<ω₁に対し、A_α⊆α があって、それがいかなるω₁の部分集合Aに対しても、A∩α = A_αとなるαの集合がω₁の中で定常集合になる。

もっと一般には、基数 ${\displaystyle \kappa }$と定常集合${\displaystyle S\subset \kappa }$が与えられたとき、 言明 ◊_S (◊(S) or ◊_κ(S)とも書かれる) は以下の項目を満たす列${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in S\rangle }$の存在を主張する

• 各αに対し、${\displaystyle A_{\alpha }\subset \alpha }$
• 各${\displaystyle A\subset \kappa }$に対し、${\displaystyle \{\alpha \in S:A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$は${\displaystyle \kappa }$の中で定常である

この原理の意味において◊_ω1は◊と同じ意味である。

イェンセンは1972年にダイヤモンド原理 ◊ がススリン木の存在を含意することを示した。彼はダイヤモンド原理がCHを含意することも示した。

任意の基数κとκ⁺の定常集合Sに対して◊_Sは構成可能集合で真である。近年、サハロン・シェラハによって非可算な基数κに対して、${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$から◊_κ⁺が示されることが示された。

• Akemann, Charles; Weaver, Nik (2004), “Consistency of a counterexample to Naimark's problem”, Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (20): 7522–7525, arXiv:math.OA/0312135, doi:10.1073/pnas.0401489101, MR2057719 
• Jensen, R. Björn (1972), “The fine structure of the constructible hierarchy”, Annals of Mathematical lLogic 4: 229–308, doi:10.1016/0003- 4843(72)90001-0, MR0309729 
• Assaf Rinot, Jensen's diamond principle and its relatives, online
• S. Shelah: Whitehead groups may not be free, even assuming CH, II, Israel J. Math., 35(1980), 257–285.