ディラック場

4次元時空において、ガンマ行列により

${\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

で定義される行列 γ₅ は

${\displaystyle (\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5},~(\gamma _{5})^{2}=1,~\{\gamma ^{\mu },\gamma _{5}\}=0}$

の性質を持つ。γ₅ はカイラリティーと呼ばれる。 γ₅ は固有値 ±1 をもち、固有値 +1 の部分空間は左手型成分（left-handed, LH）、−1 の部分空間は右手成分（right-handed, RH）と呼ばれる。射影演算子を

${\displaystyle P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}}$

により定義すれば、

${\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi }$,

${\displaystyle \psi _{R}=P_{R}\psi }$

として左手型、右手型の成分に分解することが出来る。 定義から明らかなように、左手型成分と右手型成分を足せば元のスピノルとなる。

${\displaystyle \psi _{L}+\psi _{R}=\psi }$

また、ガンマ行列をかけるとカイラリティーが変わる。

${\displaystyle \gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{L})=+\gamma ^{\mu }\psi _{L},~\gamma _{5}(\gamma ^{\mu }\psi _{R})=-\gamma ^{\mu }\psi _{R}}$

ワイル表示ではカイラリティは

${\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}-\mathbf {1} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}}}$

となる。つまり、スピノルの上2成分が左手型成分、下2成分が右手型成分となる。 ディラック・スピノルをカイラリティーで分けた2成分スピノルをワイル・スピノルと呼ぶ。

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}}$.

ψ はディラック・スピノル（4成分）、ξ, η はワイル・スピノル（2成分）。

ディラック方程式をワイルスピノルで書けば、

${\displaystyle i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}-m\xi =0}$

${\displaystyle i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi -m{\bar {\eta }}=0}$

となる。質量がゼロのとき

${\displaystyle i{\frac {\partial \xi }{\partial t}}=i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla \xi }$

${\displaystyle i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}=-i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}}$

となり、これはワイル方程式と呼ばれる。

• 九後汰一郎『ゲージ場の量子論Ⅰ』培風館〈新物理学シリーズ〉、1989年。ISBN 978-4-563-02423-9。 
• 坂井典佑『場の量子論』裳華房〈裳華房フィジックスライブラリー〉、2002年。ISBN 4-7853-2212-8。 
• V.P.ナイア『現代的な視点からの場の量子論 基礎編』阿部泰裕, 磯暁 訳、丸善。ISBN 978-4-621-06172-5。 
• M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Perss. ISBN 978-0-201-50397-5