ディリクレエネルギー From Wikipedia, the free encyclopedia 数学におけるディリクレエネルギー（英: Dirichlet's energy）は、函数がどのように変化するかを測るための概念である。より抽象的に、そのようなエネルギーはソボレフ空間 H1 上の二次汎函数である。ディリクレエネルギーはラプラス方程式と密接に関連するもので、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレの名にちなむ。 開集合 Ω ⊆ Rn と函数 u : Ω → R が与えられたとき、その函数 u のディリクレエネルギーは次の実数で定義される： E [ u ] = 1 2 ∫ Ω ‖ ∇ u ( x ) ‖ 2 d V . {\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,\mathrm {d} V.} ここで ∇u : Ω → Rn は函数 u の勾配ベクトル場を表す。 性質と応用 ディリクレエネルギーは非負の量の積分なので、それ自身非負である。すなわちすべての函数 u に対して E[u] ≥ 0 が成り立つ。 （適切な境界条件に対する）ラプラス方程式 − Δ u ( x ) = 0 for all x ∈ Ω {\displaystyle -\Delta u(x)=0{\text{ for all }}x\in \Omega } を解くことは、その境界条件を満たしディリクレエネルギーを最小にするような函数 u を探す変分問題を解くことと同値である。 そのような解は調和函数と呼ばれ、ポテンシャル論における研究テーマの一つである。 関連項目 ディリクレの原理 全変動（英語版） 有界平均振動（英語版） 調和写像（英語版） 参考文献 Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729 Related Articles
![{\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,\mathrm {d} V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee00546946efcc33f918ce32d4b006e379e4deb)
