ニュートン＝カントロビッチの定理

${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$を開集合として、${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\supset X\to \mathbb {R} ^{n}}$を微分可能関数で局所的にリプシッツ連続であるとする。つまり、いかなる開集合${\displaystyle U\subset X}$ に対しても定数${\displaystyle L>0}$が存在して、任意の${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U}$に対して

${\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )-F'(\mathbf {y} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$

が成り立ち、任意の${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ に対して不等式：

${\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )-F'(\mathbf {y} )(\mathbf {v} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|\,\|\mathbf {v} \|}$

が成立することを意味する。 いま、任意の初期値${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\in X}$を選択し、 ${\displaystyle F'(\mathbf {x} _{0})}$が可逆であると仮定して、ニュートン反復: ${\displaystyle \mathbf {h} _{0}=-F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}F(\mathbf {x} _{0}).}$ を構成する。 次の仮定は${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} _{0}}$だけでなく球全体${\displaystyle B(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)}$が集合Xに包含されていることを要求する。さらに、${\displaystyle M\leq L}$をこの球におけるヤコビアンに対するリプシッツ定数であるとする。 最後の準備として、数列${\displaystyle (\mathbf {x} _{k})_{k}}$, ${\displaystyle (\mathbf {h} _{k})_{k}}$, ${\displaystyle (\alpha _{k})_{k}}$ を帰納的に以下の通りで定める：

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {h} _{k}&=-F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}F(\mathbf {x} _{k})\\[0.4em]\alpha _{k}&=M\,\|F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}\|\,\|\mathbf {h} _{k}\|\\[0.4em]\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+\mathbf {h} _{k}.\end{alignedat}}}$

上記の仮定の下で${\displaystyle \alpha _{0}\leq {\tfrac {1}{2}}}$のとき、

1. ${\displaystyle F(\mathbf {x} ^{*})=0}$の解${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$が球${\displaystyle {\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)}$内に存在する。
2. ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$で始まるニュートン反復が${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$に少なくとも線形オーダーで収束する。

より精密だが証明が難しい主張は多項式：

${\displaystyle p(t)=\left({\tfrac {1}{2}}L\|F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}\|^{-1}\right)t^{2}-t+\|\mathbf {h} _{0}\|}$,

${\displaystyle t^{\ast /**}={\frac {2\|\mathbf {h} _{0}\|}{1\pm {\sqrt {1-2\alpha }}}}}$

の解（ただし${\displaystyle t^{\ast }\leq t^{**}}$）とその比：

${\displaystyle \theta ={\frac {t^{*}}{t^{**}}}={\frac {1-{\sqrt {1-2\alpha }}}{1+{\sqrt {1-2\alpha }}}}.}$

を用いる。このとき

1. 解${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$は閉球${\displaystyle {\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\theta \|\mathbf {h} _{0}\|)\subset {\bar {B}}(\mathbf {x} _{0},t^{*})}$内に存在する。
2. より大きい球${\displaystyle B(\mathbf {x} _{0},t^{*\ast })}$の中で一意存在する。
3. さらに、${\displaystyle F}$の解への収束は多項式${\displaystyle p(t)}$に対するニュートン反復の最も小さい根${\displaystyle t^{\ast }}$への収束に支配される^[6]。もし${\displaystyle t_{0}=0,\,t_{k+1}=t_{k}-{\tfrac {p(t_{k})}{p'(t_{k})}}}$ならば

   ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k+p}-\mathbf {x} _{k}\|\leq t_{k+p}-t_{k}.}$である。

4. 2次収束は誤差評価^[7]：

   ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} ^{*}\|\leq \theta ^{2^{n}}\|\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n}\|\leq {\frac {\theta ^{2^{n}}}{2^{n}}}\|\mathbf {h} _{0}\|.}$

から得られる。

山本哲朗は1986年にDoring(1969)、Ostrowski(1971, 1973)^[8][9]、Gragg-Tapia(1974)、Potra-Ptak(1980)^[10]、Miel(1981)^[11]、Potra(1984)^[12]等によって得られたニュートン法の誤差限界は全て全順序で優劣がつけられて、しかもそれらはニュートン＝カントロビッチの定理から導かれることを示した^[13]。

ニュートン＝カントロビッチの定理についてはq-類似が知られている^[14][15]。また、M. Plumによって似たような定理が示されている^[1]。その他の変種・一般化についてはOrtega-Rheinboldt(1970)^[16]が詳しい。