ネイマン・ピアソンの補題

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（尤度は確率密度関数 ${\displaystyle f}$ で与えられているものとする。また、この補題において構成される尤度比検定は、危険率が ${\displaystyle \alpha }$ 以下のあらゆる検定法の中で検出力が最大となっていることを示す。）

ネイマン・ピアソンの補題における帰無仮説の棄却域は

${\displaystyle R_{NP}=\left\{x:{\frac {f(x\mid \theta _{0})}{f(x\mid \theta _{1})}}\leq k\right\}}$

である。ここで ${\displaystyle k}$ は ${\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{0})=\alpha }$ となるようとった定数。

危険率が ${\displaystyle \alpha }$ 以下の検定法を任意に取ってきて、その棄却域を ${\displaystyle R_{A}}$ とする。

${\displaystyle \alpha =Pr(X\in R_{NP}|H_{0})\geq Pr(X\in R_{A}|H_{0}).}$

任意の母数に対し、確率の値は次のような2項の和に分けることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}Pr(X\in R_{NP}|\theta )&=Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}|\theta )+Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|\theta )\\Pr(X\in R_{A}|\theta )&=Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}|\theta )+Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|\theta )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ とすれば、

${\displaystyle Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{0})\geq Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{0})}$

である。

それぞれの検定法の検出力は ${\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{1})}$, ${\displaystyle Pr(X\in R_{A}|H_{1})}$ であるので

${\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{1})\geq Pr(X\in R_{A}|H_{1})}$

を証明すれば良い。上記の等式よりこれは

${\displaystyle Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{1})\geq Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{1})}$

と同値である。そこで以下、この不等式を示す。

${\displaystyle {\begin{aligned}Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{1})&=\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}f(x\mid \theta _{1})\,dx\\[4pt]&\geq {\frac {1}{k}}\int _{R_{NP}\cap R_{A}^{c}}f(x\mid \theta _{0})\,dx&&{\text{by definition of }}R_{NP}\\[4pt]&={\frac {1}{k}}Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{0})\\[4pt]&\geq {\frac {1}{k}}Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{0})\\[4pt]&={\frac {1}{k}}\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}f(x\mid \theta _{0})\,dx\\[4pt]&>\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}f(x\mid \theta _{1})\,dx&&{\text{by definition of }}R_{NP}\\[4pt]&=Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{1})\end{aligned}}}$

• イェジ・ネイマン
• エゴン・ピアソン

• 「自然科学の統計学」（東京大学出版会）ISBN 4-13-042067-4