ネーター加群

選択公理の仮定のもと、他の2つの特徴づけが可能である。

• 部分加群からなる任意の空でない集合 S は（集合の包含関係に関して）極大元をもつ。これは極大条件として知られている。
• すべての部分加群は有限生成である。

M が加群、K がその部分加群であれば、M がネーター的であるのは K と M/K がともにネーター的であるとき、かつそのときに限る。これは一般の有限生成加群における状況とは対照的である。有限生成加群の部分加群は有限生成とは限らない。

例

• 整数環はそれ自身の上の加群と見てネーター加群である。
• R = M_n(F) が体上の全行列環で、M = M_{n 1}(F) が F の縦ベクトル全体の集合であれば、M は左から R の元を行列として掛けることによって加群の構造をもつ。これはネーター加群である。
• 集合として有限な任意の加群はネーター加群である。
• 右ネーター環上有限生成な任意の右加群はネーター加群である。

右ネーター環 R は、定義によって、右からの積によって右 R 加群と見たときに右ネーター加群である。同様に環 R は左 R 加群としてネーター的であるときに左ネーター環と呼ばれる。R が可換環のとき、左右の語は不要であるからつけなくてよい。また、R が左右両側についてネーター的であるときも、単にネーター的と呼ぶのが慣例である。

ネーター性の条件は両側加群についても定義される。すなわち、ネーター両側加群とは、両側加群であって、部分両側加群について昇鎖条件を満たすものである。R-S 両側加群 M の部分両側加群は当然左 R 加群であるから、M が左 R 加群としてネーター的であれば、M は自動的にネーター両側加群である。しかしながら、両側加群としてはネーター的だが左または右加群としてはネーター的でないということはありうる。

• アルティン加群
• 昇鎖条件
• 組成列
• 有限生成加群
• クルル次元

• Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1995.