ハイネ・カントールの定理

微分積分学では次のように表現される。

定理　有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。

実数 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ を任意に取る。連続性より、各 ${\displaystyle x\in M}$ に対して ${\displaystyle U_{x}:=f^{-1}(D_{N}(f(x);\varepsilon /2))}$ は ${\displaystyle x}$ を含む ${\displaystyle M}$ の開集合である。ここで ${\displaystyle D}$ は開球を表す。${\displaystyle D_{M}(x;2\delta )\subseteq U_{x}}$ となるような ${\displaystyle D_{M}(x;\delta )}$ たちの全体は ${\displaystyle X}$ の開被覆を成す。${\displaystyle X}$ はコンパクトだから有限部分被覆 ${\displaystyle \{D(x_{i};\delta _{i})\mid i=1,\ldots ,n\}}$ が取れる。${\displaystyle \delta$ :=\min _{i}\delta _{i}} と置く。いま ${\displaystyle x,y\in M}$ について ${\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta }$ と仮定する。ある ${\displaystyle i}$ に対して ${\displaystyle x\in D_{M}(x_{i};\delta _{i})}$ である。よって三角不等式より ${\displaystyle y\in D_{M}(x_{i};\delta +\delta _{i})\subseteq D_{M}(x_{i};2\delta _{i})}$ である。ここから ${\displaystyle x,y\in U_{x_{i}}}$ が分かる。すなわち ${\displaystyle f(x),f(y)\in D_{N}(f(x_{i});\varepsilon /2)}$ である。三角不等式から ${\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon }$ が分かる。

• エドゥアルト・ハイネ
• ゲオルク・カントール