ハウスドルフのパラドックス

${\displaystyle \varphi }$をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を${\displaystyle \psi }$とする。 これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、${\displaystyle \varphi ,\psi }$は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

${\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}$の2つ以上からなる積は、以下の${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$のタイプに分類される。ただし， ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}}$は1または2である．

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}}$

${\displaystyle \alpha \neq 1}$であることが示されれば、${\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1}$であることが分かる。

${\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}}$

であり、${\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )}$は、${\displaystyle (\psi \varphi )}$の式の${\displaystyle \mu }$を ${\displaystyle -\mu }$で置き換えたものである。

${\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )}$または${\displaystyle (\psi \varphi )}$のn個の積を ${\displaystyle ^{t}(0,0,1)}$ に作用させると、

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}}$

であることが分かる．

${\displaystyle \alpha }$による ${\displaystyle ^{t}(0,0,1)}$ の変換結果のz座標は

${\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots }$

である。右辺は${\displaystyle \cos \vartheta }$の多項式であり、係数は代数的数である。${\displaystyle \vartheta }$を選んで、${\displaystyle \cos \vartheta }$が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。

回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。

• Aが単位元1を持つ。
• ${\displaystyle \rho }$がAに属するとき、${\displaystyle \varphi \rho }$はA + Bに属する。
• ${\displaystyle \rho }$がAに属するとき、${\displaystyle \psi \rho ,\psi ^{2}\rho }$はそれぞれB, Cに属する。

1は、Aに属するものとする。${\displaystyle \varphi ,\psi }$はBに属するものとする。${\displaystyle \psi ^{2}}$はCに属するものとする。

${\displaystyle \psi _{n}}$を先頭が${\displaystyle \psi }$又は${\displaystyle \psi ^{2}}$であるような、${\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}$のn個の積とする。

${\displaystyle \varphi _{n}}$を先頭が${\displaystyle \varphi }$であるような、${\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}}$のn個の積とする。

${\displaystyle \psi _{n}}$がA, B, Cに属するならば、${\displaystyle \varphi \psi _{n}}$はB, A, Aに属するようにする。

${\displaystyle \varphi _{n}}$がA, B, Cに属するならば、${\displaystyle \psi \varphi _{n}}$はB, C, Aに属するようにする。${\displaystyle \psi ^{2}\varphi _{n}}$はC, A, Bに属するようにする。

このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である（下図参照）。

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}}$

1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を${\displaystyle P_{x}}$とすると、${\displaystyle P_{x}=P_{y}}$か、${\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset }$のいずれか1つが成り立つ。 そして${\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}}$ である．

選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。

このとき

${\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}}$

${\displaystyle A',B',C'}$をA, B, Cと書き直すと${\displaystyle P=A\cup B\cup C}$であり、

${\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C}$

であるから、${\displaystyle A,B,C,B\cup C}$は合同となる。よって定理は証明された。

• Felix Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig (1914), pp. 469–. 
• Felix Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Mathematische Annalen 75 (1914), pp. 428–434 
• S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes,Findamenta Mathematicae 6 pp. 244–277 (1924), Banach全集 第一巻 pp. 118–148, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf 
• 砂田利一 (2009), 新版　バナッハ・タルスキーのパラドックス, 岩波書店 
• Stan Wagon (1985), The Banach-Tarski Paradox, Cambridge Univ. Press