ハウスホルダー作用素

線型代数に於いてハウスホルダー作用素（ハウスホルダーさようそ、英語: Householder operator）は以下の様に定義される．${\displaystyle V}$を有限次元の内積空間として，内積を${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$で表し，${\displaystyle u\in V}$を単位ベクトルとする．このとき${\displaystyle H_{u}\colon V\to V}$は，

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

で定義される．この作用素はベクトル${\displaystyle x}$を${\displaystyle u}$を法線ベクトルに持つ平面に関して鏡映させる．零ベクトルでない${\displaystyle q\in V}$について，以下の様にハウスホルダー作用素の式に於いて直接正規化することも一般的である．

${\displaystyle H_{q}(x)=x-2{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}q.}$