パンシェルル微分

任意の交換子がそうであるように、パンシェルル微分 ′ は自己準同型環 End(K[x]) 上の微分子（英語版）（導分）である。すなわち、自己準同型環 End(K[x]) に属する任意の二つの線形作用素 S, T に対し、

• （和の法則） ${\displaystyle (T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime };}$
• （積の法則）${\displaystyle (TS)^{\prime }=T^{\prime }S+TS^{\prime }}$

を満たす（ただし、積 TS := T ∘ S は写像の合成によって定める）。また [T, S] := TS − ST を通常のリーブラケットとして、ヤコビ恒等式より

• ${\displaystyle [T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]}$

が成立する。

通常の微分 D = d/dx は多項式に対する作用素と見なせる。直接的な計算により、そのパンシェルル微分は D′ = id_K[x] = 1（右辺の 1 は 1 倍する乗算作用素）となり、数学的帰納法により

${\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}}$

に一般化できる。このことから、微分作用素 ∂ = ∑ a_nDⁿ のパンシュレル微分

${\displaystyle \partial '=\sum na_{n}{{d^{n-1}} \over {dx^{n-1}}}=\sum na_{n}D^{n-1}}$

もまた微分作用素であることが分かり、したがってパンシェルル微分は微分作用素全体の成す環 diff(K[x]) 上の微分子になる。

シフト作用素 S_h(f)(x) = f(x + h) はテイラー展開

${\displaystyle S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}$

を考えることにより、そのパンシェルル微分

${\displaystyle S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}}$

を得る。すなわち、シフト作用素はパンシェルル微分の固有ベクトルであり、対応するスペクトルはスカラーの空間全体 K である。

T がシフト同変、すなわち T が S_h と可換（[T, S_h] = 0）ならば [T′, S_h] = 0 となり、T' もまた同じシフト h に対してシフト同変であることが分かる。

離散時間デルタ作用素 δf(x) = f(x+h)−f(x)⁄h は、作用素として

${\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1)}$

と書ける（積の順番に注意）から、そのパンシェルル微分 δ′ = S_h はシフト作用素である。

• 交換子
• デルタ作用素
• 陰計算

• Weisstein, Eric W. "Pincherle Derivative". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Biography of Salvatore Pincherle at the MacTutor History of Mathematics archive.