ブラック・モデル

ブラックの公式は、株式オプションの評価式であるブラック・ショールズ式と類似しているが、原資産のスポット価格が先渡価格 F に置き換わっている点が異なる。

時点 T で一単位の通貨を支払う割引債の時点 t における価格を P(t, T) とするとき、原資産の行使価格を K、満期までの年数を T とするヨーロッパ型コール・オプションに関するブラックの公式は、以下のとおりである。

${\displaystyle c=P\left(0,T\right)\left[FN\left(d_{1}\right)-KN\left(d_{2}\right)\right]}$

また、プット価格は、以下のとおりである。

${\displaystyle p=P\left(0,T\right)\left[KN\left(-d_{2}\right)-FN\left(-d_{1}\right)\right]}$

ここで、

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log {\frac {F}{K}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\log {\frac {F}{K}}-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$

である。