ブロッホ球

正規直交基底が与えられたとき、2準位系における任意の純粋状態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ は基底ベクトル ${\displaystyle |0\rangle }$, ${\displaystyle |1\rangle }$ の重ね合わせ（複素数係数での和）で表すことができる。基底ベクトル ${\displaystyle |0\rangle }$, ${\displaystyle |1\rangle }$ の係数について、位相はそれらの差のみ物理的な意味を持つ。そのため、 ${\displaystyle |0\rangle }$ の係数を非負実数とする。

また、規格化条件から ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ である。

以上より、${\displaystyle |\psi \rangle }$を以下のように書くことができる：

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle &=\cos(\theta /2)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin(\theta /2)|1\rangle \\&=\cos(\theta /2)|0\rangle +(\cos \varphi +i\sin \varphi )\sin(\theta /2)|1\rangle \end{aligned}}}$

ここで ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$, ${\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }$ である。

${\displaystyle |\psi \rangle }$ が ${\displaystyle |0\rangle }$, ${\displaystyle |1\rangle }$ であるときは ${\displaystyle \varphi }$ は任意の値をとれるがブロッホ球上の点としては同じ点であり、ブロッホ球による表現は常に一意である。

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