ヘリシティー (素粒子)

数学的には、スピン${\displaystyle {\vec {S}}}$の運動量の向き${\displaystyle {\hat {p}}}$への射影として、次のように表される:

${\displaystyle h={\vec {S}}\cdot {\hat {p}},\qquad {\hat {p}}={\vec {p}}/|{\vec {p}}|}$

ある軸に関するスピンの固有値は離散的な値なので、ヘリシティーの固有値は離散的である。スピンSの粒子について、ヘリシティーの固有値はS, S − 1, ..., −Sである。スピンSの粒子で計測されるヘリシティーは−Sから+Sの範囲を取りうる。ヘリシティーは、${\displaystyle {\vec {S}}}$の代わりに全角運動量演算子${\displaystyle {\vec {J}}}$によって等価に書き表すことができる。これは、線運動量に沿った軌道角運動量の射影は次のように０になるためである:

${\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {p}}=0\ .}$

3 + 1次元において、質量を持たない粒子についての小群はSE(2)の二重被覆である。これは、SE(2)の"並進"に対して不変でありSE(2)のθ回転に対してe^ihθ変換を行うユニタリ表現を持つ。これはヘリシティーh表現である。SE(2)の並進に対して非自明に変換を行う別のユニタリ表現もある。これは、連続スピン表現である。

d + 1次元において、小群はSE(d − 1) の二重被覆である。（d ≤ 2の場合はエニオンなどのためにさらに複雑である。）前述のように、"標準"表現（SE(d − 1)の"並進"）および"連続スピン"表現に対して変換を行わない（不変である）ユニタリ表現が存在する。

質量を持たないスピン-1⁄2粒子にとって、ヘリシティーは${\displaystyle \hbar /2}$倍されたカイラル演算子と等価である。

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