ベッセル点

均等荷重を受ける2点支持された梁の任意の位置でのたわみ角は、弾性曲線方程式より

${\displaystyle y}$ : 梁の中央からの位置

${\displaystyle \theta (y)}$ : 任意の位置${\displaystyle y}$での梁のたわみ角

${\displaystyle \pm X\cdot L/2}$ : 支持位置

${\displaystyle L}$ : たわみが無い状態での梁の長さ

${\displaystyle E}$ : 梁のヤング率

${\displaystyle I}$ : 梁の断面二次モーメント

${\displaystyle q}$ : 梁の単位長さあたりの重量

とすると、
梁の中央から支持点の範囲すなわち ${\displaystyle 0\leq y\leq X\cdot L/2}$ においては

${\displaystyle \theta (y)=-{\frac {q}{EI}}\cdot \{{\frac {y^{3}}{6}}+y\cdot L^{2}\cdot ({\frac {1}{8}}-{\frac {X}{4}})\}}$

支持点から端面の範囲すなわち ${\displaystyle X\cdot L/2\leq y\leq L/2}$ においては

${\displaystyle \theta (y)=-{\frac {q}{EI}}\cdot ({\frac {y^{3}}{6}}-{\frac {y^{2}\cdot L}{4}}+{\frac {y\cdot L^{2}}{8}}-{\frac {X^{2}\cdot L^{3}}{16}})}$

である。
また、梁の微小部位 ${\displaystyle dL}$ を測定する際に、この部位と測定軸とが平行でなく ${\displaystyle \theta }$ の角度をなしているとコサイン誤差が生じ、この部位は ${\displaystyle cos\theta \cdot dL}$ として測定される。したがって、

${\displaystyle L_{V}}$ : たわみ梁の両端面間の寸法

とすれば、

${\displaystyle L_{V}=\int _{-L/2}^{+L/2}\{cos\theta (y)\}dy}$

${\displaystyle \fallingdotseq 2\int _{0}^{X\cdot L/2}\{1-{\frac {\theta ^{2}(y)}{2}}\}dy+2\int _{X\cdot L/2}^{+L/2}\{1-{\frac {\theta ^{2}(y)}{2}}\}dy}$

${\displaystyle =L-{\frac {q^{2}}{(EI)^{2}}}\cdot {\frac {L^{7}}{7680}}\cdot ({\frac {1}{6}}\cdot X^{6}-8\cdot X^{5}+{\frac {35}{2}}\cdot X^{4}-{\frac {15}{2}}\cdot X^{2}+{\frac {15}{14}})}$

となる。 ベッセル点では、たわみの影響が最も小さい、つまり ${\displaystyle X}$ を変数としたときに寸法 ${\displaystyle L_{V}}$ は極値であり、

${\displaystyle {\frac {dL_{V}}{dX}}=0}$

となるので、

${\displaystyle {\frac {dL_{V}}{dX}}=-{\frac {q^{2}}{(EI)^{2}}}\cdot {\frac {L^{7}}{7680}}\cdot X\cdot (X^{4}-40\cdot X^{3}+70\cdot X^{2}-15)}$

より、ベッセル点では、

${\displaystyle X^{4}-40\cdot X^{3}+70\cdot X^{2}-15=0}$

を満たす。

• フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセル