ベルグマン計量

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ を領域とし、${\displaystyle K(z,w)}$ を G 上のベルグマン核とする。接束 ${\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$ 上のエルミート計量を、z ∈ G に対し

${\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z)}$

と定義する。すると接ベクトル ${\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}$ の長さは

${\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}}$

によって与えられる。この計量が G 上のベルグマン計量と呼ばれる。

（区分）C¹ 曲線 ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to {\mathbb {C} }^{n}}$ の長さは

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt}$

と計算される。すると2点 p, q ∈ G の距離 ${\displaystyle d_{G}(p,q)}$ は

${\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ all piecewise }}C^{1}{\text{ curves }}\gamma {\text{ such that }}\gamma (0)=p{\text{ and }}\gamma (1)=q\}}$

と定義される。距離 d_G はベルグマン距離と呼ばれる。

G が有界領域であればベルグマン計量は実は各点において正定値行列である。より重要なことには、距離 d_G は G から別の領域 G′ への双正則写像のもとで不変である。つまり、f: G → G′ が双正則であれば、${\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))}$ が成り立つ。

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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