ホッジ双対

ホッジ双対（ホッジそうつい、Hodge dual）は、数学において、ウィリアム・ホッジにより導入された線型写像であり、ホッジスター作用素（ホッジスターさようそ、Hodge star operator）とも呼ばれる。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義される $k$ -ベクトルのなす空間から $(n - k)$ -ベクトルのなす空間への線形同型である。

他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。たとえば余接束の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス＝ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。

次元と代数

$V$ を向きつけられた内積空間とし、 $n$ をその次元とする。 $0 \leq k \leq n$ をみたす整数 $k$ に対し、ホッジスター作用素は、外積代数における $k$ -ベクトル（英語版）（ $k$ -vectors）の空間から $(n - k)$ -ベクトルの空間への同型写像を与える。この写像による $k$ -ベクトルの像を、そのホッジ双対と呼ぶ。 $k$ -ベクトルの空間と $(n - k)$ -ベクトルの空間の次元は、二項係数の性質により等しく、

{\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}

である。同じ体の上にある同次元の2つのベクトル空間は常に同型であるが、自然な同型写像が存在するとは限らない。しかし、ホッジスター作用素は、空間の内積と向き付けを利用することによって、これら2つの空間の間に自然な同型（ホッジ双対性）を定める。これは $k$ -ベクトル空間に内積を誘導することと同義であり、この双対関係は幾何学的に重要な役割を果たす。

最初の興味深い例は、3次元ユークリッド空間 $V$ の場合である。二項係数の列は 1, 3, 3, 1 となり、 $k =1$ の空間（ベクトル）と $k =2$ の空間（2つのベクトルのウェッジ積）はいずれも3次元である。ホッジスター作用素はこれらの間の同型を与える（詳細は#例の節を参照）。この対応関係は、伝統的なベクトル解析におけるクロス積（外積）に相当する。クロス積は3次元でのみ定義される概念だが、ホッジ双対は任意の次元へ一般化された定義を与える。

k-ベクトルのホッジスターの定義

非退化な対称双線型形式（以下ではこれを内積とよぶ）を持つベクトル空間 $V$ 上のホッジスター作用素(Hodge star operator)は、 $V$ の外積代数上の線型作用素であり、 $0 \leq k \leq n$ に対し、 $k$ -ベクトルを $(n - k)$ -ベクトルに写すものである。

$k$ -ベクトル上の内積 $⟨•, •⟩$ は、 $V$ 上の内積から、 $k$ -ベクトル $α = α 1 \land \dots \land α k$ と $β = β 1 \land \dots \land β k$ に対して、

\langle \alpha ,\beta \rangle =\det {\bigl (}\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle {\bigr )}

と定め、これを双線形に拡張することで得られる。

$n$ -ベクトルの空間は 1 次元で、したがって単位 $n$ ベクトル $ω$ には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより $V$ 上の向き付けが決まる。

ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの $k$ -ベクトル $α, β$ が与えられたとき、

\alpha \wedge (\star \beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \omega

である。

説明

$V$ を内積をもつ $n$ 次元ベクトル空間とすると、上で述べたように各 $k$ に対し ${\textstyle \bigwedge ^{k}V}$ にも内積を定めることができる。これらをすべて $⟨•, •⟩$ で表すとする。 ${\textstyle \bigwedge ^{n}V}$ は 1 次元で、その長さ 1 のベクトルのうち一つ $ω$ を固定して、これを向きとする。 $k$ -ベクトル $λ$ と $(n - k)$ -ベクトル $θ$ に対し ${\textstyle \lambda \wedge \theta \in \bigwedge ^{n}V}$ が得られる。これは上で選んだ $ω$ のスカラー倍になる。

${\textstyle \lambda \in \bigwedge ^{k}V}$ を固定し、上で定まるスカラーを $f λ (θ)$ と書くと、一意に線形形式

f_{\lambda }\in {\biggl (}\bigwedge ^{n-k}V{\biggr )}^{\!*}

が存在して、任意の ${\textstyle \theta \in \bigwedge ^{n-k}V}$ に対して $λ \land θ = f λ (θ) ω$ となる。この線形形式に対し、リースの表現定理により一意に $(n - k)$ -ベクトル、 ${\textstyle \star \lambda \in \bigwedge ^{n-k}V}$ が存在し、

\forall \theta \in \bigwedge ^{n-k}V:\quad f_{\lambda }(\theta )=\langle \theta ,\star \lambda \rangle

を満たす。言いかえると、この $(n - k)$ -ベクトル $⋆ λ$ は内積

{\biggl (}\bigwedge ^{n-k}V{\biggr )}^{\!*}\cong \bigwedge ^{n-k}V

により導かれた同型の下で $f λ$ の像となる。このようにして、

\star \colon \bigwedge ^{k}V\to \bigwedge ^{n-k}V

が得られる。

ホッジスターの計算

$ω = e 1 \land \dots \land e n$ となるように順序付けされた直交基底 $(e 1, ..., e n)$ が与えられると、

\star (e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dotsb \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dotsb \wedge e_{n}

と計算できる。

より一般に偶置換 $(i 1, i 2, ..., i n)$ に対しても

\star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{n}}

となることが分かる。

スター作用素のインデックス記法

インデックス記法（添字記法）を使うと、ホッジ双対は、 $k$ -形式の添字を $n$ -次元の完全反対称なレヴィ・チヴィタテンソル(Levi-Civita tensor)と縮約することによって得られる。ここでレヴィ・チヴィタテンソルは、レヴィ・チヴィタの記号に係数 $|det g|.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ を乗じたものである（ $g$ は内積を与える計量テンソル）。ローレンツ多様体の接空間などのように $g$ が正定値でない場合も考慮し、行列式の絶対値が用いられる。

具体的には次のように書ける^[1]。

(\star \eta )_{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\dotsc ,j_{k}}{\sqrt {|\det g|}}\,\varepsilon _{j_{1},\dotsc ,j_{k},i_{1},\dotsc ,i_{n-k}}

ここで $η$ は反対称な $k$ 階テンソルである。添字の上げ下げ（英語版）には、レヴィ・チヴィタテンソルの定義と同様に内積 $g$ が使われる。任意のテンソルに対してこの演算を適用可能だが、対称な成分は完全反対称なレヴィ・チヴィタ記号との縮約によって消滅するため、結果として得られるのは常に反対称テンソルとなる。

例

スター作用素のよく知られた例は、 $n = 3$ 次元の場合で、このとき 3 次元のベクトルと 3 × 3 歪対称行列の対応と見なすことができる。これはベクトル解析において暗に使われていて、たとえば、2つのベクトルのウェッジ積からクロス積を作りだすことができる。特に、ユークリッド空間 $R 3$ では、容易に、

\star \mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

\star \mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x

\star \mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y

であることが分かる。ここに $d x, d y, d z$ は $R 3$ 上の標準の直交な微分 $1$ -形式である。3次元におけるホッジ双対は、明らかにクロス積とウェッジ積を関連付ける。微分幾何学へ限定しない詳細な説明は、パラグラフを改める。

2次元の例

2次元ユークリッド空間（ $R 2$ ）におけるホッジスター作用素は、単純な幾何学的性質を持つ。正規直交基底を $(e 1, e 2)$ とし、標準的な向き付けを与えると、 $1$ -形式（ベクトル）に対する作用は以下のようになる。

\star e_{1}=e_{2}

\star e_{2}=-e_{1}

これは、ベクトルを正の向き（反時計回り）に90度回転させる操作に対応している。 $2$ -次元においてホッジスターを2回作用させると $** = -1$ となることからも、これが90度回転の2回繰り返し（180度回転＝反転）であることが分かる。

複素幾何学との関係

2次元ユークリッド空間（ $R 2$ ）を複素平面（ $C$ ）とみなすと、ホッジスター作用素は複素構造と密接に関連する。複素座標 $z = x + iy$ に対し、正則関数 $f = u + iv$ のコーシー・リーマンの方程式

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

は、ホッジスター作用素を用いて

\mathrm {d} v=\star \mathrm {d} u

と簡潔に表現でき、より高次元の複素多様体におけるホッジ理論への入り口となる。

3次元の例

3次元空間においてホッジ双対は、軸性ベクトルと2-ベクトル（英語版）（bivector）の間の同型を与える。つまり、軸性ベクトル $a$ と $2$ -ベクトル $A$ は互いに双対となる^[2]。

{\boldsymbol {A}}=\star {\boldsymbol {a}}\qquad {\boldsymbol {a}}=\star {\boldsymbol {A}}

この双対関係は、実クリフォード代数 $C ℓ 3 (R)$ における単位擬スカラー（英語版） $i = e 1 e 2 e 3$ との幾何積（英語版）（geometric product）を用いて記述できる（ここで ${e ℓ}$ は3次元ユークリッド空間の正規直交基底とする）^[3]^[4]。

{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {a}}i\quad {\boldsymbol {a}}=-{\boldsymbol {A}}i

例えば、ベクトル $a$ の双対は、 $i$ を右から乗じることで得られる。

{\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}i&=(a_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}({\boldsymbol {e_{1}}})^{2}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}({\boldsymbol {e}}_{2})^{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}({\boldsymbol {e}}_{3})^{2}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}\\&=\star {\boldsymbol {a}}\end{aligned}}

また、 ${e ℓ e m}$ によって張られる双対空間においても同様に計算できる。

{\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}i&=(A_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}\\&=A_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}({\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}({\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1})^{2}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}\\&=-(A_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+A_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+A_{3}{\boldsymbol {e}}_{3})\\&=-(\star {\boldsymbol {A}})\end{aligned}}

以上の計算では、基底ベクトルの性質 $(e ℓ) 2 = 1$ および以下の関係式を用いた。

({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}=-1

i^{2}=({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-1

この双対性を用いると、2つの極ベクトル（非軸性ベクトル） $u$ と $v$ のクロス積 $a = u \times v$ と、外積（ウェッジ積） $A = u \land v$ を関係付けることができる。それぞれ行列式を用いて次のように書き表せる（ここで $e ℓ m = e ℓ e m$ とした）。

{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{23}&{\boldsymbol {e}}_{31}&{\boldsymbol {e}}_{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}

これより、両者がホッジ双対の関係にあることがわかる^[2]。

\star ({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}\,,\quad \star ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}

$i$ を用いた表記では、以下の関係式がよく用いられる^[5]。

{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}=-({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})i\,,\quad {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})i

ここでは次の関係式

({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}=-1

および、

i^{2}=({\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3})^{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}=-1

を用いた。

これらの双対 $⋆$ と $i$ 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、クロス積 $a = u \times v$ として生成された軸性ベクトルを、 $2$ -ベクトルに値を持ち 2つの極（つまり、軸性ではない）ベクトル $u$ と $v$ の外積 $A = u \land v$ へと関係付けることに適用される。2つの積は、行列式を使う同じ方法で、記法 $e ℓ m = e ℓ e m$ を使い、次のように書き表すことができる。

{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{23}&{\boldsymbol {e}}_{31}&{\boldsymbol {e}}_{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}

これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、 $ℓ, m, n$ が巡回的(cyclic)な関係式

\star {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{\ell }i={\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}

と、再び $ℓ, m, n$ が巡回的な関係式

\star ({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})i=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{n}

の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される^[2]。

\star ({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}\,,\quad \star ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}

$i$ を用いた $⋆$ の、よく使われている関係式^[5] は、

{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}=-({\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}})i\,,\quad {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}=({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})i

である。

4次元

$n = 4$ の場合では、ホッジ双対は $2$ -ベクトルのなす空間の自己準同型として作用する（つまり、 $4 - 2 = 2$ であるので、ホッジ双対は $2$ -形式から $2$ -形式への写像である）。このときホッジ双対は対合であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への自己双対と反自己双対な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ $+1 , -1$ として作用する。

他の有用な例は、 $n = 4$ 次元の計量の符号 $(+ - - -)$ と座標 $(t, x, y, z)$ を使いミンコフスキー空間に対し、（ $ε 0123 = 1$ を使い、） $1$ -形式に対し、

\star \mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

\star \mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

\star \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x

\star \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y

であり、一方、2-形式に対し、

\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z

\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z

\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y

\star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z

\star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y

\star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x

である。

4次元ミンコフスキー時空

特殊相対性理論において重要となる $n = 4$ 次元のミンコフスキー空間を考える。計量の符号を $(+ - - -)$ 、座標を $(t, x, y, z)$ とし、体積形式を $ω = d t \land d x \land d y \land d z$ とする。

このとき、 $1$ -形式に対するホッジスター作用素は以下のようになる。

{\begin{aligned}\star \mathrm {d} t&=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} y&=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x\\\star \mathrm {d} z&=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}

また、 $2$ -形式に対する作用は以下のようになる。

{\begin{aligned}\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)&=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)&={\phantom {-}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z\\\star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)&=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)&={\phantom {-}}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\\\star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)&=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\\\star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)&={\phantom {-}}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\end{aligned}}

ミンコフスキー時空における計量は正定値ではないため、 $1$ -形式に対して $** = 1$ となる一方、 $2$ -形式に対しては $** = -1$ となる点に注意が必要である。

双対性

ホッジスターは双対性を定義する、つまりホッジスターを二回適用することで符号を除き外積代数の恒等写像を定める。 $n$ -次元空間 $V$ の中の ${\textstyle \bigwedge ^{k}(V)}$ の $k$ -ベクトルが与えられると、

\star {\star \eta }=(-1)^{k(n-k)}s\eta

を得る。ここに $s$ は $V$ 上の内積の計量の符号（英語版）(metric signature)である。特に、 $s$ は内積テンソルの行列式の符号である。このように、たとえば、 $n = 4$ で内積の符号が、 $(+ - - -)$ 、または、 $(- + + +)$ であれば、 $s = -1$ である。通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、 $s = 1$ である。ホッジスターが擬リーマン多様体へ拡張されると、上の内積は対角形式での計量であると理解される。

上のことから、 $⋆$ の逆写像が

\star ^{-1}\colon \bigwedge ^{k}\to \bigwedge ^{n-k};\eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta }

で与えられることがわかる。 $n$ が奇数であれば、任意の $k$ に対し $k (n - k)$ は偶数であり、 $n$ が偶数であれば、 $k (n - k)$ と $k$ の偶奇はひとしい。従って、

{\begin{cases}\star ^{-1}=s\star &n{\text{ is odd}}\\\star ^{-1}=(-1)^{k}s\star &n{\text{ is even}}\end{cases}}

である。ここに $k$ は作用した形式の次数である。

共形不変性

ホッジスター作用素の重要な性質として、計量の共形変換（スケール変換）に対する振る舞いがある。 $n$ 次元多様体上の計量 $g$ を、正の関数 $λ$ を用いて $g' = λ 2 g$ と変換（共形変換）したとき、 $k$ -形式に対するホッジスター作用素 $⋆ g$ と $⋆ g'$ の関係は以下のようになる。

\star _{g'}\omega =\lambda ^{n-2k}(\star _{g}\omega )

この式から分かるように、 $n = 2 k$ となる「中間次元」の微分形式に対しては、ホッジスター作用素は計量のスケール因子 $λ$ に依存しない（共形不変である）。例えば、4次元時空（ $n = 4$ ）における電磁場（ $k = 2$ ）や、2次元面（ $n = 2$ ）における調和関数（ $k = 1$ に対する微分 $d f$ ）の方程式が、角度を保つ変形に対して不変であることは、この性質に由来している。

多様体上のホッジスター

上の構成を向きづけられた $n$ 次元のリーマン多様体、あるいは擬リーマン多様体の余接空間に対しても適用でき、 $k$ -形式のホッジ双対 $(n - k)$ -形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式の $L 2$ -ノルムである内積を与える。 ${\textstyle \bigwedge ^{k}(T^{*}M)}$ の切断 $η$ と $ζ$ に対し、

(\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge \star \zeta =\int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \,\mathrm {d} \mathrm {Vol}

である（切断の集合は、 ${\textstyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma {\bigl (}\bigwedge ^{k}(T^{*}M){\bigr )}}$ と書かれることが多い。 $Ω k (M)$ の元は、外 $k$ -形式と呼ばれる）。

さらに一般的には、向き付けされていない場合は、 $k$ -形式のホッジスターを $(n - k)$ -擬微分形式（英語版）(pseudo differential form)、すなわち、標準ラインバンドル $Ω n (M)$ に値を持つ微分形式として定義することができる。

余微分形式

多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分(codifferential) $δ$ を定義することである。

\delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star \mathrm {d} \star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} \star }

とする。ここに、リーマン多様体に対し、 $d$ は外微分、 $s = 1$ とする。

$d: Ω k (M) \to Ω k +1 (M)$ に対し、 $δ : Ω k (M) \to Ω k -1 (M)$ である。余微分は反微分ではない。これは外微分と異なる。

余微分は外微分に随伴する、すなわち $⟨ η, δζ ⟩ = ⟨d η, ζ ⟩$ である。ここに $ζ$ は $(k + 1)$ -形式であり、 $η$ は $k$ -形式である。これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは

{\begin{aligned}0&=\int _{M}\mathrm {d} (\eta \wedge \star \zeta )\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge (-1)^{k+1}\mathrm {d} {\star \zeta }){\Bigr )}\\&=\int _{M}{\Bigl (}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta )-(\eta \wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} {\star \zeta }}){\Bigr )}\\&=\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle -\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \end{aligned}}

となるとき、つまり、 $M$ は境界を持たないか、または、 $η$ あるいは $⋆ ζ$ が境界値が $0$ を持っているときである。（もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。）

注意すべきは、微分形式は、 $d 2 = 0$ を満たすので、余微分は対応する性質 $\!\delta ^{2}=s^{2}{\star \mathrm {d} {\star {\star \mathrm {d} {\star }}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0$ をみたす。

ラプラス・ド・ラーム作用素(en:Laplace–Beltrami_operator)は $∆ = (δ + d) 2 = δ d + d δ$ で与えられ、ホッジ理論の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち $⟨∆ ζ, η ⟩ = ⟨ ζ, ∆ η ⟩$ であり、非負 $⟨∆ η, η ⟩ \geq 0$ である。ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。ホッジ理論の結果として、ド・ラームコホモロジーは自然に調和 $k$ -形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群

\star \colon H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M)

の同型をもたらす。これは $H k (M)$ のポアンカレ双対性と標準的に同一視される。

3次元での微分

3次元では、 $⋆$ 作用素と外微分 $d$ の組み合わせは、古典的作用素 $grad$ 、 $curl$ 、 $div$ を生成する。このことは次のようにして分かる。 $d$ は、 $0$ -形式（函数）から $1$ -形式へ、 $1$ -形式から $2$ -形式へ、 $2$ -形式から $3$ -形式へ（ $3$ -形式へ作用させると $0$ となる）作用素である。 $0$ -形式 $ω = f (x, y, z)$ に対し、成分表示された第一の場合は、 $grad$ 作用素と同一視される。

\mathrm {d} \omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z

第二の場合は、 $⋆$ 作用素により、 $1$ -形式上の作用素 ( $η = A d x + B d y + C d z$ ) を成分で示すと、 $curl$ 作用素である。

\mathrm {d} \eta =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A}{\partial z}}-{\frac {\partial C}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+\left({\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y

ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。

\star \mathrm {d} \eta =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial A}{\partial z}}-{\frac {\partial C}{\partial x}}\right)\mathrm {d} y+\left({\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z

最後の場合は、 $⋆$ を作用させると、 $1$ -形式 ( $η = A d x + B d y + C d z$ ) から $0$ -形式（函数）を得て、成分で示すと div 作用素である。

{\begin{aligned}\star \eta &=A\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+C\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\mathrm {d} {\star \eta }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} {\star \eta }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{aligned}}

この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 $d 2 = 0$ が、残る 2つをまとめ、 $curl(grad(f)) = 0$ と $div(curl(F)) = 0$ と得る。特に、電磁気学におけるマクスウェルの方程式（真空中で電荷・電流が存在する場合）は、電磁場テンソル（ $2$ -形式）を $F$ 、電流密度（ $1$ -形式、あるいは $3$ -形式）を $J$ とすると、外微分とホッジスター作用素を用いて以下の2つの式で表現できる。

\mathrm {d} F=0

\mathrm {d} {\star F}=J

第一の式は磁場のガウスの法則とファラデーの電磁誘導の法則を、第二の式はガウスの法則とアンペールの法則を統合したものである。このように、ホッジスター作用素を用いることで、物理法則を座標系に依存しない幾何学的な形式で記述することが可能になる。

ラプラシアンも得ることができる。 $0$ -形式 $ω = f (x, y, z)$ に対し、上の定義に従って計算すると、

\Delta \omega =\delta \mathrm {d} \omega =-\star \mathrm {d} {\star \mathrm {d} \omega }=-\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\right)

となる。これは通常の解析的なラプラシアン（ $\nabla 2$ ）の符号を反転させたものであり、前述した「ホッジ・ラプラシアンは非負作用素である（固有値が非負である）」という性質と整合する。

次元と代数

k-ベクトルのホッジスターの定義

説明

ホッジスターの計算

スター作用素のインデックス記法

例

2次元の例

複素幾何学との関係

3次元の例

4次元

4次元ミンコフスキー時空

双対性

共形不変性

多様体上のホッジスター

余微分形式

3次元での微分

脚注

参考文献

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