ホップの最大値原理

u = u(x), x = (x₁, …, x_n) は、ある開領域 Ω において次の微分不等式を満たす C² 函数とする。

${\displaystyle Lu=\sum _{ij}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\geq 0}$

ここに対称行列 a_ij = a_ij(x) は Ω において局所一様に正定値であり、係数 a_ij, b_i = b_i(x) は局所有界である。このとき、u が Ω 内で最大値 M を取るなら、u ≡ M である。

ホップの最大値原理は通常、線型微分作用素 L に対してのみ適用できるものと考えられている。この立場は特に、リヒャルト・クーラントとダフィット・ヒルベルトによる Methoden der mathematischen Physik においても取られている。しかしホップの原著論文の後半の節では、特定の非線型作用素 L も許すより一般の状況が考えられており、いくつかの場合では平均曲率（英語版）やモンジュ＝アンペールの方程式（英語版）に対するディリクレ問題における一意性の結果も導かれている。

• Hopf, Eberhard (2002), Morawetz, Cathleen S.; Serrin, James B.; Sinai, Yakov G., eds., Selected works of Eberhard Hopf with commentaries, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2077-X, MR1985954 .
• Pucci, Patrizia; Serrin, James (2004), “The strong maximum principle revisited”, Journal of Differential Equations 196 (1): 1–66, doi:10.1016/j.jde.2003.05.001, MR2025185 .