モジュラー形式の保型因子

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重さ k の保型因子 (automorphic factor of weight k) とは

${\displaystyle \nu \colon \Gamma \times {\mathfrak {H}}\to \mathbb {C} }$

なる函数 ν で、以下に掲げる四つの性質を満足するものを言う。ここで ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ は上半平面、C はガウス平面をそれぞれ表し、また Γ は例えばフックス群のような SL(2, R) の部分群である。したがって、Γ の元 γ は二行二列の行列として

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

のように書くことができる。ただし、a, b, c, d は全て実数で、ad − bc = 1 を満たすものとする。

保型因子 ν が満足すべき条件とは、

1. Γ の元 γ を固定したとき、函数 ν(γ, z) は z に関して ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ 上の正則函数である。
2. 一定の実数 k が存在して、${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
   ${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$
   が成立する。
3. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
   ${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$
   が成立する。ここに、δz は δ の定める一次分数変換による z の像である。
4. I を二次の単位行列として、−I が Γ に属するならば、${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ の任意の元 z と Γ の任意の元 γ に対して、
   ${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$
   が成り立つ。

任意の保型因子は ‖υ(γ)‖ = 1 なる函数 υ を用いて

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

の形に書くことができる。 函数 υ: Γ → S¹ は乗因子系 (multiplier system) と呼ばれる。明らかに

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$

が成り立つ。一方、−I ∈ Γ なるときは

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

が成り立つ。

• Robert Rankin, Modular Forms and Functions, (1977) Cambridge University Press ISBN 0-521-21212-X. (Chapter 3 is entirely devoted to automorphic factors for the modular group.)