ルベーグ外測度

• 区間 ${\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]\quad (a_{i}\leq b_{i})}$ に対し $${\displaystyle \mu ^{*}(I)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\dotsb (b_{n}-a_{n}).}$$
• 特に ${\textstyle \mu ^{*}(\emptyset )=0.}$
• 劣加法性: ${\displaystyle \mu ^{*}{\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}{\Bigr )}\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(E_{j}).}$
• 特に単調性: ${\textstyle A\subseteq B\implies \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B).}$
• 平行移動不変性: ${\textstyle A_{\lambda }:=\{x+\lambda \mid x\in A\}}$ と置けば $${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A_{\lambda }).}$$
• 線型変換 T: Rⁿ → Rⁿ に対し ${\textstyle TA:=\{Tx\mid x\in A\}}$ と書けば $${\displaystyle \mu ^{*}(TA)=|T|\mu ^{*}(A)}$$ が成り立つ。ただし |T| は変換の行列式である。

基本集合 ${\textstyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]\quad (a_{i}\leq b_{i})}$ に対し、その体積を ${\textstyle \operatorname {vol} (I):=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\dotsb (b_{n}-a_{n})}$ と定義する。

全体集合 Rⁿ を区間の可算列によって被覆できる（なんとなれば ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^{n}}$ が成立することをみればよい）から、Rⁿ の任意の部分集合 E が上記の基本集合の可算合併で被覆できることは明らかな事実である。そこで E のルベーグ外測度を $${\displaystyle \mu ^{*}(E):=\inf {\Big \{}\sum _{j=1}^{\infty }{\hbox{vol}}(I_{j}):\bigcup I_{j}\supseteq E{\Bigr \}}}$$ と定義する。ただし下限 inf は E を被覆する任意の基本集合列 I_j にわたってとるものとする。

これにより外測度 ${\displaystyle \mu ^{*}\colon 2^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}=[0,\infty ]}$ が定まる。