ルーシェの定理

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${\displaystyle D\ }$ を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、${\displaystyle \partial D}$ をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、${\displaystyle K\ }$ を ${\displaystyle D\ }$ の閉包 （= ${\displaystyle D+\partial D\ }$） とし、${\displaystyle f(z)\ }$ および ${\displaystyle g(z)\ }$ を${\displaystyle K\ }$ 上で定数でない正則な複素関数で、${\displaystyle \partial D\ }$上で、${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|\ }$ を満たすとすれば、 ${\displaystyle D\ }$ 内での ${\displaystyle f(z)+g(z)\ }$ と ${\displaystyle f(z)\ }$ の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。

${\displaystyle \partial D}$ 上では、${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|}$ という条件から、${\displaystyle |f(z)|>0}$ であり、

${\displaystyle \log(f(z)+g(z))=\log f(z)+\log(1+g(z)/f(z))}$

と書くことができる。 ${\displaystyle f(z)}$ および ${\displaystyle g(z)}$ は ${\displaystyle D}$ で極を持たないので偏角の原理 から ${\displaystyle f(z)+g(z)}$ の ${\displaystyle D}$ 内における零点の個数をnとすれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz\\&={\frac {1}{2\pi i}}\left[\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz+\oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz\right]\end{aligned}}}$

である。

ここで ${\displaystyle \omega \colon K\to \mathbb {C} }$ を、${\displaystyle \omega (z)=1+g(z)/f(z)}$ で定義する。前述のように${\displaystyle \partial D}$ 上では ${\displaystyle |f(z)|>0}$ であり、${\displaystyle f(z)}$ および ${\displaystyle g(z)}$ は ${\displaystyle K}$ 上で正則であるから、${\displaystyle \omega (z)}$ は ${\displaystyle \partial D}$ 上で正則である。従って ${\displaystyle \omega (z)}$ による ${\displaystyle \partial D}$ の像を ${\displaystyle C}$ とすれば、 ${\displaystyle C}$ も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

${\displaystyle \oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz=\oint _{\partial D}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}{\frac {d\omega }{dz}}dz=\oint _{C}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}d\omega }$

である。結局この式の値は ${\displaystyle \log \omega }$ を ${\displaystyle C}$ 上のある点を始点として ${\displaystyle C}$ に沿って一周した場合の増分になるが、${\displaystyle \partial D}$ 上では ${\displaystyle |f(z)|>|g(z)|}$ という条件から ${\displaystyle C}$ 上では ${\displaystyle \operatorname {Re} \omega }$ は正であり、 ${\displaystyle C}$ は ${\displaystyle \log \omega }$ の分岐点である ${\displaystyle \omega =0}$ を一周しないので、その値は 0 である。従って、

${\displaystyle n={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz}$

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。