レンズ空間

3次元レンズ空間 ${\displaystyle L(p;q)}$ は ${\displaystyle S^{3}}$ の ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-作用による商空間である。以下でより正確な定義を述べる。 ${\displaystyle p}$ と ${\displaystyle q}$ を互いに素な整数とし、${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ 内の単位球として ${\displaystyle S^{3}}$ を考える。 このとき, ${\displaystyle [1]\cdot (z_{1},z_{2}):=(e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$ で生成される ${\displaystyle S^{3}}$上の${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-作用は自由である。 この作用による ${\displaystyle S^{3}}$ の 商空間 を レンズ空間 ${\displaystyle L(p;q)}$ と定める。

この定義はより高次元のものに一般化できる。${\displaystyle n}$を2以上の整数、${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$ を、各 ${\displaystyle q_{i}}$ と ${\displaystyle p}$ が互いに素であるような整数とし、 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 内の単位球として ${\displaystyle S^{2n-1}}$ を考える。 ${\displaystyle [1]\cdot (z_{1},\ldots ,z_{n}):=(e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n})}$ で生成される自由 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-作用による ${\displaystyle S^{2n-1}}$ の商空間を、レンズ空間 ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$ と定める。 ${\displaystyle n=2}$のとき、${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q)}$ が成り立つ。