ローレンツスカラー

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特殊相対性理論では、4次元の時空内の粒子の位置は、次のように与えられます：$${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ここで、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$は粒子の3次元空間での位置であり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は3次元空間での速度であり、${\displaystyle c}$は光速です。

ベクトルの"長さ"はローレンツスカラーであり、次のように与えられます：$${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}$$ここで、${\displaystyle \tau }$は粒子の静止フレーム内の時計で測定される固有時であり、ミンコフスキー計量は次のように与えられます：$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$これは、時間的計量です。

しばしば、ミンコフスキー計量においては、符号の配置が異なるバージョンが使われることがあります。$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$これは、空間的計量です。

ミンコフスキー計量では、空間的な間隔<math> s </math>は、次のように定義されます：$${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$以下では、空間的なミンコフスキー計量を使用します。

時空内の速度は、次のように定義されます：$${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}$$ここで、$${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$4元ベクトルの大きさはローレンツスカラーであり、$${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$したがって、cはローレンツスカラーです。

4-加速度は、次のように与えられます：$${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$4元加速度は常に4元ベクトルと垂直です$${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$したがって、時空内の加速を単に4元ベクトルの回転として考えることができます。加速と速度の内積はローレンツスカラーであり、ゼロです。この回転はエネルギーの保存の単なる表現です：$${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ここで、<math> E </math>は粒子のエネルギーであり、<math> \mathbf{F} </math>は粒子に作用する3力です。