一様凸空間

一様凸空間とは、すべての ${\displaystyle 0<\varepsilon \leq 2}$ に対して、ある ${\displaystyle \delta >0}$ が存在し、${\displaystyle \|x\|=1}$, ${\displaystyle \|y\|=1}$ を満たす二つの任意のベクトルに対して

${\displaystyle \|x-y\|\geq \varepsilon }$

ならば

${\displaystyle \left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\leq 1-\delta }$

が成立するようなノルムベクトル空間のことをいう。直感的に、単位球の内側の線分の中心が、その線分が短すぎない限り、単位球のより内側に存在することをいう。

バナッハ空間（またはノルム空間） ${\displaystyle X}$ に対して、その凸度（英: modulus of convexity、または凸性のモジュラス）は、各 ${\displaystyle 0\leq \varepsilon \leq 2}$ に対して次のように定義される関数 ${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )\colon [0,2]\to [0,1]}$ である：

${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )=\inf \left\{1-\left\|{\frac {x+y}{2}}\right\|\;|\;\|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1,\|x-y\|\geq \varepsilon \right\}}$

このとき、${\displaystyle X}$ が一様凸空間であることは、すべての ${\displaystyle \varepsilon >0}$ に対して ${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )>0}$ が成り立つことと同値である。

凸度 ${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )}$ は次のような幾何学的性質を持つ：

• ${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )}$ は ${\displaystyle \varepsilon }$ について単調非減少な関数である。
• ${\displaystyle X}$ が非ゼロの空間であれば、${\displaystyle \delta _{X}(0)=0}$ かつ ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\delta _{X}(\varepsilon )=0}$ が成り立つ。
• ${\displaystyle X}$ がヒルベルト空間である場合、中線定理よりその凸度は具体的に ${\displaystyle \delta _{X}(\varepsilon )=1-{\sqrt {1-(\varepsilon /2)^{2}}}}$ と求まる（これは任意のバナッハ空間の中で理論上最大の凸度を与える）。
• 下限 ${\displaystyle \varepsilon _{0}(X)=\sup\{\varepsilon \in [0,2]\mid \delta _{X}(\varepsilon )=0\}}$ は ${\displaystyle X}$ の凸特性数（英: characteristic of convexity）と呼ばれ、空間の一様凸性の度合いを測る指標となる。${\displaystyle X}$ が一様凸であることは ${\displaystyle \varepsilon _{0}(X)=0}$ と同値である。

• ミルマン＝ペティスの定理によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
• ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ が一様凸バナッハ空間において ${\displaystyle f}$ に弱収束する列で ${\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|}$ を満たすなら、${\displaystyle f_{n}}$ は ${\displaystyle f}$ に強収束する: ${\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}$（これをラーダン＝リース性（英: Radon–Riesz property）という）。
• バナッハ空間 ${\displaystyle X}$ が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 ${\displaystyle X^{*}}$ が一様滑らかであることである。
• すべての一様凸空間は狭義凸である。

• すべてのヒルベルト空間は一様凸である。
• 一様凸バナッハ空間のすべての閉部分空間は一様凸である。
• ハンナーの不等式によると、L^p 空間（${\displaystyle 1<p<\infty }$）は一様凸である。
• ${\displaystyle L^{\infty }}$ は一様凸ではない。

• バナッハ空間
• 幾何学的バナッハ空間論
• 凸度と凸特性数
• 凸関数
• 一様に滑らかな空間
• 狭義凸空間
• ヒルベルト空間
• バナッハ空間
• ハンナーの不等式
• クラークソンの不等式（英語版）

• Clarkson, J. A. (1936). “Uniformly convex spaces”. Trans. Amer. Math. Soc. (American Mathematical Society) 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630.
• Hanner, O. (1956). “On the uniform convexity of ${\displaystyle L^{p}}$ and ${\displaystyle l^{p}}$”. Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007/BF02589410.

• Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Introduction to Banach Spaces and their Geometry (Second revised ed.). North-Holland. ISBN 0-444-86416-4
• Per Enflo (1972). “Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm”. Israel Journal of Mathematics 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007/BF02762802.
• Lindenstrauss, Joram and Benyamini, Yoav. Geometric nonlinear functional analysis Colloquium publications, 48. American Mathematical Society.