三角関数の無限乗積展開

正弦関数の乗積展開を証明するには

${\displaystyle f(z)={\frac {{\pi }z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}{\sin({\pi }z)}}}$

として、恒等的に${\displaystyle f(z)=1}$であることを示せば良い。そのために${\displaystyle f(z)}$の対数微分

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n-z}}\right)}-\pi {\frac {\cos {{\pi }z}}{\sin {{\pi }z}}}}$

を考える。余接関数の部分分数展開

${\displaystyle \pi \cot {{\pi }z}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}}$

を用いて${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log {f(z)}=0}$となるから${\displaystyle f(z)}$は定数であり、${\displaystyle f(z)=f(0)=1}$が得られる。

${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ とし、区間 ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ で定義された関数 ${\displaystyle f(x)=\cos(\alpha x)}$ を考える。

これを周期 ${\displaystyle 2\pi }$ で延長した関数のフーリエ級数は区間 ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ において ${\displaystyle f}$ に各点収束する。

${\displaystyle f(x)={\frac {2\alpha \sin \pi \alpha }{\pi }}\left({\frac {1}{2\alpha ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\cos nx\right)}$

${\displaystyle x=\pi }$ を代入すると

${\displaystyle \cot \pi \alpha -{\frac {1}{\pi \alpha }}={\frac {2\alpha }{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}}$

ここで ${\displaystyle z\in (0,1)}$ をとる。${\displaystyle \alpha \in (0,z)}$であるとき、${\displaystyle \left|{\frac {1}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}}$であり、また ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-z^{2}}}}$ は収束することから、

ワイエルシュトラスのM判定法より上式は ${\displaystyle \alpha \in (0,z)}$ において一様収束する。よって上式は区間 ${\displaystyle [0,z]}$ において積分できる。

${\displaystyle \ln {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

これより ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$ が得られる。

正弦関数の乗積展開

${\displaystyle {\frac {\pi {z}}{\sin \pi {z}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {n^{2}}{n^{2}-z^{2}}}\right)}}$

に${\displaystyle z=\textstyle {\frac {1}{2}}}$を代入すると

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}}$

が得られる。これはウォリス積と呼ばれるものである。

• 三角関数の無限乗積展開 - 理系ノート
• 部分分数展開 - 理系ノート
• 複素関数論における無限積の公式 (PDF)
• Weisstein, Eric W. "Infinite Product". mathworld.wolfram.com (英語).