主値

一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を

${\displaystyle \mathrm {pv} \ f(z)}$

と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。

複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

対数関数の例は上述したが、その形は

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)}$

である。ここで ${\displaystyle \mathrm {arg} \ z}$ が多価である。この偏角の取りうる範囲を ${\displaystyle -\pi <\mathrm {arg} \ z\leq \pi }$ に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って ${\displaystyle \mathrm {Arg} \ z}$ と書く。関数の定義に ${\displaystyle \mathrm {arg} \ z}$ の代わりに ${\displaystyle \mathrm {Arg} \ z}$ を使うことで、対数関数が一価になり、

${\displaystyle \mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).}$

と書くことができるようになる。

${\displaystyle \alpha }$ を複素数（${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$）とするときの指数 ${\displaystyle z^{\alpha }\,}$ について考えるとき、一般には z^α を e^{α log z} として定義する。ここで Log でなく log を使うと、e^{α log z} は多価関数となる。Log を使えば以下の形で z^α の主値を取ることができる。

${\displaystyle \mathrm {pv} \ z^{\alpha }=e^{\alpha \mathrm {Log} \ z}}$

複素数 ${\displaystyle z=re^{\phi i}\,}$ の平方根の主値は以下のようになる。

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

ここで偏角は ${\displaystyle -\pi <\phi <\pi \,}$ の範囲である。

ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。

• ${\displaystyle [0,2\pi )}$
• ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。

• atan2：${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ の範囲
• atan：${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2)}$ の範囲

• 主枝（英語版）
• 分岐点
• 多価関数
• 価数

• Weisstein, Eric W. "Principal Value". mathworld.wolfram.com (英語).