係数行列

一般的に m 個の線型方程式と n 個の未知変数を含む系は

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\,}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\,}$

${\displaystyle \quad \vdots \,}$

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\,}$

のように書き表される。ただし、${\displaystyle x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}}$ は未知変数で、数 ${\displaystyle a_{11},a_{12},\dotsc ,a_{mn}}$ は系の係数である。このとき ${\displaystyle a_{ij}}$ を (i, j)-成分とする m × n 行列

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

のことを係数行列という。 さらに数 ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{m}}$ からなる列 b を最後尾に付け加えた次の m × (n + 1) 行列

${\displaystyle [A,{\boldsymbol {b}}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{bmatrix}}}$

のことを拡大係数行列（augmented coefficient matrix）という。

• 線型方程式系