冪集合公理

分出公理と外延性公理との連言により、任意の集合 ${\displaystyle x}$ について、${\displaystyle x}$ の任意の部分集合のみを元とする集合の存在が一意に定まる。この集合を ${\displaystyle x}$ の冪集合と呼び、${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x\right)}$ または ${\displaystyle 2^{x}}$ と表記する。

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x\right)=\left\{y\,|\,\forall z\left[z\in y\Rightarrow z\in x\right]\right\}}$

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。

冪集合公理は、二つの集合 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y);\ x\in X\land y\in Y\}.}$

ここで

${\displaystyle x,y\in X\cup Y,}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),}$

${\displaystyle (x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であり、

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の有限集合の類に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}:=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月）

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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