冪集合公理

集合論の言語 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in }}$ を用いて、冪集合公理は次で定義される：

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z\left[\forall w\left[w\in z\Rightarrow w\in x\right]\Rightarrow z\in y\right]}$

定義の解釈

自然言語を用いて、冪集合公理は次で解釈される：

「任意の集合について、少なくともその集合の任意の部分集合を元とする集合が存在する。」

包含関係の略記 ${\displaystyle \subseteq }$ を用いると定義式が　${\displaystyle \forall x\ \exists y\ \forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]}$ 　となり、${\displaystyle x}$ の部分集合 ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots }$ 全てを元に持つ集合族 ${\displaystyle y}$ が存在するといえることがわかり、これは上記の解釈そのものである。

分出公理と外延性公理との連言により、任意の集合 ${\displaystyle x}$ について、${\displaystyle x}$ の任意の部分集合のみを元とする集合の存在が一意に定まる。この集合を ${\displaystyle x}$ の冪集合と呼び、${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x\right)}$ または ${\displaystyle 2^{x}}$ と表記する。

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(x\right)=\left\{y\,|\,\forall z\left[z\in y\Rightarrow z\in x\right]\right\}}$

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。

冪集合公理は、二つの集合 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ に対し、次のようなデカルト積の簡単な定義を許す：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y);\ x\in X\land y\in Y\}.}$

ここで

${\displaystyle x,y\in X\cup Y,}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y),}$

${\displaystyle (x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であり、

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

複数の集合たちを任意有限個集めたデカルト積は、次のように再帰的に定義できる：

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}:=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

デカルト積の存在は、クリプキ＝プラテクの集合論（英語版）におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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