函数の平均

有限個の値 y₁, y₂, …, y_n の（算術）平均 y の定義性質は ${\textstyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\dotsb +y_{n}}$ であったことを思い出そう。すなわち「その値を n 個加えたものが、与えられた n 項 y_i の和に等しいこと」として定義される定数がそれら n 項の平均値である。

その類似対応物として、区間 [a, b] 上で定義された函数 f の（算術）平均 f の定義性質として $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,{\mathit {dx}}=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathit {dx}}}$$ を考えるのは自然である。すなわち、f を区間 [a, b] 上で積分したものが [a, b] 上での f の積分値に等しいような定数 f を平均値とする。しかしこのとき、微分積分学の第二基本定理によれば、定数 f の積分は $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,{\mathit {dx}}={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(b-a){\bar {f}}}$$ と求められ、また積分の第一平均値定理によれば、f が開区間 [a, b] で連続ならば、c ∈ (a, b) が存在して $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mathit {dx}}=f(c)(b-a)}$$ となることが保証され、この値 f(c) は函数 f(x) の [a, b] における平均値と呼ばれる。そこで f ≔ f(c) と書いて整理すれば、冒頭の定義に至る。

多変数の場合、ユークリッド空間の相対コンパクト近傍 U 上での函数 f の（算術）平均は $${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\operatorname {Vol} (U)}}\int _{U}f}$$ で定義される。

また、f の幾何平均は $${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{\operatorname {Vol} (U)}}\int _{U}\log f\right)}$$ と定めればよい。