函数体 (スキーム論)
From Wikipedia, the free encyclopedia
最も単純な場合は、KX の定義はストレートである。X を（既約な）アフィン代数多様体とし、U を X の開集合とすると、KX(U) は U 上の正則函数の環の商体となる。X はアフィンであるから、U 上の正則函数の環は、X の大域切断の局所化となり、結局、KX は X の大域切断の商体に値を持つ定数層となる。
X が整スキームであるがアフィンでないとすると、任意の空ではないアフィン開集合は、X において稠密となる。このことは、正則函数が U の外側で何か面白いことをする余地が存在しないことを意味し、結局、U 上の有理函数の振る舞いは、X 上の有理函数の振る舞いを決定してしまう。実際、開集合上の正則函数の環の商体は、みな同じになり、従って、任意の U に対し KX(U) を X の任意のアフィン開部分集合の正則函数の環の（アフィン開部分集合の取り方によらない）商体として定義する。別な方法としては、この場合には、函数体を生成点の局所環であると定義することができる。