劣微分

凸関数 f: I→R の点 x₀ における劣微分は次の条件を満たす数 c の集合である^[1]。

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$

この時、劣微分を表す集合の要素は次の条件を満たす数 a, b を用いた閉区間 [a, b] の間に存在する。

${\displaystyle a=\lim _{x\nearrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

${\displaystyle b=\lim _{x\searrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$

当然ながら、f が点 x₀ で微分可能であれば、x₀ における劣微分はただ1つの要素のみを持つことになる。逆に劣微分がただ1つの要素しか持たないとき f は点 x₀ において微分可能である。

絶対値関数 f(x) = |x| を考える。この f の点 x=0 における劣微分は [−1, 1] である。一方、x₀ < 0 ならば {−1}、x₀ > 0 ならば {1} が f の劣微分となる。

劣微分の定義を満たす要素 c 自体は劣勾配（英: Subgradient）と呼ばれる^[1]。